統計検定 1級 過去問 解答/解答例と解説
2016年11月27日 (日) 試験

統計数理 問1 [2]

設問の要約
  • θ^ の偏り (バイアス) を求めよ.

  • θ~=exp[X¯12n]

  • θ~θ の不偏推定量であることを示せ.

解答例

X¯ は,

X¯N(μ,1n)
モーメント母関数 MX¯(t) は,
MX¯(t)=exp[μt+12nt2]
t=1 のとき,
MX¯(1)=E[eX¯]=exp[μ+12n]
θ^ の偏りは,E[θ^θ] より求めることができるので,
E[θ^θ]=E[eX¯θ]=E[eX¯]θ=exp[μ+12n]exp[μ]=eμ(e12n1)
ここで,
eμ>0
n>1    0<12n<12    1<e12n<e121.65
より,
eμ(e12n1)>0
よって,θ^ は正のバイアスがある. θ は,X¯N(μ,1n) を単調増加する指数関数で変換していることから,正のバイアスを持つ.
E[θ~]=E[exp[X¯12n]]=E[eX¯]exp[12n]=exp[μ+12n]exp[12n]=exp[μ]=eμ
よって,θ~θ の不偏推定量である.