統計学にあまりでない数学

1階線形微分方程式

解法1

次の微分方程式を考える.

y+p(x)y=q(x)    (q(x)0)
両辺に ep(x)dx をかけると,
ep(x)dxy+ep(x)dxp(x)y=ep(x)dxq(x)  ddx(yep(x)dx)=ep(x)dxq(x)  yep(x)dx=ep(x)dxq(x)dx+C  y=ep(x)dx(ep(x)dxq(x)dx+C)

解法2 : 定数変化法

次の微分方程式を考える.

y+p(x)y=f(x)
同次方程式 y+p(x)y=0 の一般解
y=Aep(x)dx
において,任意定数 Ax の関数 A(x) と考える.
y=A(x)ep(x)dx
このとき,
y=A(x)ep(x)dx+A(x)ep(x)dx(p(x))=A(x)ep(x)dxp(x)A(x)ep(x)dx=A(x)ep(x)dxp(x)y
y+p(x)y=A(x)ep(x)dx
よって,これが非同次方程式 y+p(x)y=f(x) の解になっているとすると,
A(x)ep(x)dx=f(x)  A(x)=f(x)ep(x)dx  A(x)=f(x)ep(x)dxdx+C
以上より,
y=(f(x)ep(x)dxdx+C)ep(x)dx