統計検定 1級 過去問 解答/解答例と解説
2016年11月27日 (日) 試験

統計数理 問1 [1]

設問の要約
  • θ=eμ

  • 尤度 L(θ) を導出し,θ の最尤推定量 θ^ を求めよ.

解答例

θ=eμ より

μ=logθ
ただし,
θ>0
尤度 L(θ) は,
L(θ)=i=1n12πexp[(xilogθ)22] =1(2π)n2exp[12i=1n(xilogθ)2]
対数尤度 (θ)=logL(θ) は,
(θ)=logL(θ)=log1(2π)n2exp[12i=1n(xilogθ)2] =log1(2π)n212i=1n(xilogθ)2
θ で微分して,0 とおくと,
ddθ(θ)=i=1n(xilogθ)(1θ)=0
1θi=1n(xilogθ)=0
θ>0 なので,
i=1n(xilogθ)=0
i=1nxinlogθ=0
logθ=1ni=1nxi
θ=exp[1ni=1nxi]
よって,
θ^=eX¯