統計学のための数学

行列

行列の転置

  1. (AT)T=A

  2. (sA+tB)T=sAT+tBT

  3. tr(AT)=tr(A)

  4. (AB)T=BTAT

  5. (AT)1=(A1)T

  6. |AT|=|A|

行列のトレース

  1. tr(AT)=tr(A)

  2. tr(sA+tB)=str(A)+ttr(B)

  3. tr(AB)=tr(BA)

  4. tr(AAT)=tr(ATA)=ijaij2

  5. xTAx=tr(xTAx)=tr(AxxT)

  6. tr(A)=iλi    (λi : Aの固有値)

逆行列

逆行列が存在するとき,その行列を正則と呼ぶ.

2次の正方行列の場合,

A=(abcd)  A1=1adbc(dbca)

  1. (A1)1=A

  2. (AB)1=B1A1

  3. (AT)1=(A1)T

行列の種類

直交行列

ATA=I が成り立つとき.

対称行列

AT=A が成り立つとき.

べき等行列

A2=A が成り立つとき.

正定値行列

xTAx>0 となるとき.

非負正定値行列

xTAx0 となるとき.

負定値行列

A が正定値行列であるとき.

対称行列と交代行列

任意の正方行列 A は,対象行列 B と交代行列 C の和としてただ一通りに表せる. X が対称行列ならば tX=XX が交代行列ならば tX=X である. ここで,

B=12(A+tA),    C=12(AtA)
とおくと,tB=B かつ tC=C を満たすので,B は対象行列,C は交代行列である.

行列のランク

次のような p×n 行列を考える.

A=(a11a1nap1apn)=(a1,a2,,an)
ai=(a1ia2iapi)
A の列ベクトルの 1 次独立な最大個数を A のランク (階数) と呼び,rank(A) を表す.