統計検定 1級 過去問 解答/解答例と解説
2016年11月27日 (日) 試験

統計応用 問1 [2]

設問の要約
  • 確率変数 Y13, Y33, Y43, Y24, Y34, Y44 の線形結合の形の τ1τ2 の不偏推定量のうち分散が最小となる推定量 T4 を求めよ.

  • V[T4] を求めよ.

解答例

E[T4]=E[a1Y13+a2Y33+a3Y43+a4Y24+a5Y34+a6Y44]=E[a1(μ+τ1+β3+ϵ13)+a2(μ+τ3+β3+ϵ33)    +a3(μ+τ4+β3+ϵ43)+a4(μ+τ2+β4+ϵ24)    +a5(μ+τ3+β4+ϵ34)+a6(μ+τ4+β4+ϵ44)]=a1(μ+τ1+β3)+a2(μ+τ3+β3)    +a3(μ+τ4+β3)+a4(μ+τ2+β4)    +a5(μ+τ3+β4)+a6(μ+τ4+β4)=μ(a1+a2+a3+a4+a5+a6)+a1τ1+a4τ2    +τ3(a2+a5)+τ4(a3+a6)    +β3(a1+a2+a3)+β4(a4+a5+a6)
これが,τ1τ2 となるためには,係数比較して,
{a1+a2+a3+a4+a5+a6=0  (1)a1=1  (2)a4=1  (3)a2+a5=0  (4)a3+a6=0  (5)a1+a2+a3=0  (6)a4+a5+a6=0  (7)
(4)と(5)より,
a5=a2  (4)
a6=a3  (5)
(3),(4)',(5)'を (7) に代入すると,
1a2a3=0
a3=1a2  (6)
(6)(5) に代入すると,
a6=(1a2)=a2+1  (5)
よって,a2=a とすると,
(a1, a2, a3, a4, a5, a6)=(1, a, 1a, 1, a, a+1)

V[T4]=V[a1Y13+a2Y33+a3Y43+a4Y24+a5Y34+a6Y44]=V[a1(μ+τ1+β3+ϵ13)+a2(μ+τ3+β3+ϵ33)    +a3(μ+τ4+β3+ϵ43)+a4(μ+τ2+β4+ϵ24)    +a5(μ+τ3+β4+ϵ34)+a6(μ+τ4+β4+ϵ44)]=V[a1ϵ13+a2ϵ33+a3ϵ43+a4ϵ24+a5ϵ34+a6ϵ44]=a12V[ϵ13]+a22V[ϵ33]+a32V[ϵ43]+a42V[ϵ24]+a52V[ϵ34]+a62V[ϵ44]=a12σ2+a22σ2+a32σ2+a42σ2+a52σ2+a62σ2=σ2(a12+a22+a32+a42+a52+a62)=σ2{12+a2+(1a)2+(1)2+(a)2+(a+1)2}=σ2{1+a2+1+2a+a2+1+a2+a2+2a+1}=σ2{4a2+4a+4}=4σ2{a2+a+1}=4σ2{a2+a+1414+1}=4σ2{(a+12)2+34}
よって,分散 V[T4]a=12 のとき,最小値 3σ2 となる.したがって,
T4=Y1312Y3312Y43Y24+12Y34+12Y44
V[T4]=3σ2