統計検定 1級 過去問 解答/解答例と解説
2016年11月27日 (日) 試験

統計応用 問5 [3]

設問の要約
  • [1] の処置群ごとの母平均の信頼係数 95% の信頼区間の重なりと,[2] の 2 標本両側 t 検定の結果との関係を調べる.

  • 簡単のため次のようにする.

    n : 処理A,処置Bを施すそれぞれのサンプルサイズ

    sx=sy=s

  • 信頼区間の重なりがない場合,2 標本両側 t 検定は有意になるか答えよ.

  • 信頼区間の重なりがある場合,その重なりがいくら以下のときに 2 標本両側 t 検定は有意になるか答えよ.

解答例

(1) 信頼区間の重なりがないとき

x¯>y¯ ならば,

y¯+t0.025(n1)s2n<x¯t0.025(n1)s2n
x¯y¯s2n>2t0.025(n1)
x¯<y¯ ならば,
x¯+t0.025(n1)s2n<y¯t0.025(n1)s2n
y¯x¯s2n>2t0.025(n1)
両条件を合わせると,
|x¯y¯|s2n>2t0.025(n1)
2 標本両側 t 検定は,
|x¯y¯|s2(1n+1n)=12|x¯y¯|s2n>122t0.025(n1)=2t0.025(n1)=2t0.025(2n2)>t0.025(2n2)
よって,重なりがないとき,2 標本両側 t 検定は有意になる.

(2) 信頼区間の重なりがあるとき

重なりを D とおく.

x¯>y¯ ならば,

D=(y¯+t0.025(n1)s2n)(x¯t0.025(n1)s2n)=(x¯y¯)+2t0.025(n1)s2n
x¯<y¯ ならば,
D=(x¯+t0.025(n1)s2n)(y¯t0.025(n1)s2n)=(x¯y¯)+2t0.025(n1)s2n
両条件を合わせると,
D=|x¯y¯|+2t0.025(n1)s2n
|x¯y¯|=D+2t0.025(n1)s2n
2 標本両側 t 検定が,有意水準 5% で有意となるには,
|x¯y¯|s2(1n+1n)>t0.025(2n2)
|x¯y¯|>2t0.025(2n2)s2n
D+2t0.025(n1)s2n>2t0.025(2n2)s2n
D<s2n{2t0.025(n1)2t0.025(2n2)}