統計検定 1級 過去問 解答/解答例と解説
2016年11月27日 (日) 試験

統計応用 問1 [3]

設問の要約
  • ω>0

  • Tτ1τ2 の不偏推定量であることを示せ.

    T=T1+T2+T3+ωT43+ω

  • V[T] を求めよ.

  • V[T] が最小となる ω を求め,そのときの TV[T] を求めよ.

解答例

E[T]=E[T1+T2+T3+ωT43+ω]=13+ωE[T1+T2+T3+ωT4]=13+ω{E[T1]+E[T2]+E[T3]+ω2E[T4]}=13+ω{(τ1τ2)+(τ1τ2)+(τ1τ2)+ω(τ1τ2)}=13+ω(3+ω)(τ1τ2)=τ1τ2

V[T]=V[T1+T2+T3+ωT43+ω]=1(3+ω)2V[T1+T2+T3+ωT4]=1(3+ω)2{V[T1]+V[T2]+V[T3]+ωV[T4]}=1(3+ω)2{2σ2+2σ2+2σ2+3ω2σ2}=6+3ω2(3+ω)2σ2

ω で微分して 0 とおくと,

ddωV[T]=ddω6+3ω2(3+ω)2σ2=6ω(3+ω)2(6+3ω2)2(3+ω)4(3+ω)2σ2=6ω(9+6ω+ω2)2(18+6ω+9ω2+3ω3)4(3+ω)2σ2=54ω+36ω2+6ω3(36+12ω+18ω2+6ω3)4(3+ω)2σ2=18ω2+42ω364(3+ω)2σ2=3(3ω2+7ω6)2(3+ω)2σ2=0
ω>0 なので,分母 > 0.分子に注目して,
3(3ω2+7ω6)σ2=0
3ω2+7ω6=0
(3ω2)(ω+3)=0
ω>0 より,ω=23 のとき,V[T] は最小値となる.

V[T]=6+3(23)2(3+23)2σ2=611σ2