統計学にあまりでない数学

完全微分方程式

解法(1)

df(x, y)=p(x, y)dx+q(x, y)dy=0
を満たすf(x, y)を求める.
p(x, y)dx=P(x, y)
としたとき,
f(x, y)=P(x, y)+ϕ(y)
とおいて,
yf(x, y)=q(x, y)
より,ϕ(y)が求められ,さらに,ϕ(y)が求まる.よって,一般解は,
f(x, y)=P(x, y)+ϕ(y)=C

解法(2) : 積分因数

P(x, y)dx+Q(x, y)dy=0
ここで,PyQxとする. つまり,完全微分方程式でない場合を考える. このときは,両辺に積分因数 λ(x, y)をかけて,
λ(x, y)P(x, y)dx+λ(x, y)Q(x, y)dy=0
が完全微分方程式になるようにする. 簡単のために,λ(x, y)xのみ,あるいは,yのみの関数であるとすると,

  1. QxPyQxのみの関数ならば,

    λ(x)=eQxPyQdx

  2. QxPyPyのみの関数ならば,

    λ(x)=eQxPyPdx

として積分因数を決め,完全微分方程式を解く.