統計検定 1級 過去問 解答/解答例と解説
2016年11月27日 (日) 試験

統計数理 問2 [3]

設問の要約
  • λ の最尤推定量を求めよ.

  • Q(c) の最尤推定量 Q^(c) を求めよ.

  • u(α) の最尤推定量 u^(α) を求めよ.

  • u^(α)u(α) の不偏推定量であるか示せ.

解答例

尤度 L(λ) は,

L(λ)=i=1nλeλxi=λnexp[λi=1nxi]
対数尤度 (λ)=logL(λ) は,
(λ)=logL(λ)=logλnexp[λi=1nxi]=nlogλλi=1nxi
λ で微分して 0 とおくと,
ddλ(λ)=nλi=1nxi=0
よって,
λ^=ni=1nXi=1X¯
Q^(c)=ec/X¯
u^(α)=X¯logα
E[u^(α)]=E[X¯logα]=logαE[X¯]=1λlogα=u(α)
よって,u^(α)u(α) の不偏推定量である.