統計学にあまりでない数学

2階線形定数係数微分方程式

同次の場合: y+ay+by=0

特性方程式 t2+at+b=0 の解を α, β とする.

  1. 2実解 (αβ) のとき

    y=C1eαx+C2eβx

  2. 重解 (α=β) のとき

    y=C1eαx+C2xeαx

  3. 虚数解 (p±qi) のとき

    y=epx(C1cosqx+C2sinqx)

非同次の場合: y+ay+by=f(x)

特殊解を y0y+ay+by=0 の一般解を C1y1+C2y2 とするとき, y+ay+by=f(x) の一般解は,

y=C1y1+C2y2+y0

  1. f(x)m 次方程式

    y0=Amxm++A1x+A0

  2. f(x)eαx

    y0=Aeαx

  3. f(x)cosβx, sinβx

    y0=Acosβx+Bsinβx

  4. f(x)xmsinx, xmcosx

    y0=(Amxm++A1x+A0)sinxy0=(Amxm++A1x+A0)cosx

  5. f(x)xmeαx

    y0=eαx(Amxm++A1x+A0)

  6. f(x)eαxcosβx, eαxsinβx

    y0=eαx(Acosβx+Bsinβx)