統計学にあまりでない数学

定積分の応用

曲線 $r = f(\theta)$ と $\theta = \theta_{1},~\theta = \theta_{2}$ で囲まれる図形の面積 $S$ は，

S = \int_{θ_{1}}^{θ_{2}} \frac{1}{2} r^{2} d θ

$\begin{equation} S = \int_{\theta_{1}}^{\theta_{2}}\frac{1}{2}r^{2}d\theta \end{equation}$

曲線 $y = f(x)$ と $x=a,~x=b$ で囲まれた図形を $x$ 軸のまわりに1回転してできる回転体の体積 $V$ は，

V = π \int_{a}^{b} {f (x)}^{2} d x

$\begin{equation} V = \pi\int_{a}^{b}\{f(x)\}^{2}dx \end{equation}$

$xy$ 平面上の領域 $D$ を底面とし， $z$ 軸に平行な母線をもつ柱体が曲面 $z=f(x,~y)~~(f(x,~y) \ge 0)$ によって切り取られる部分の体積は，

V = \iint_{D} f (x, y) d x t d y

$\begin{equation} V = \iint_{D}f(x,~y)dx\,tdy \end{equation}$

曲線 $y = f(x)$ の長さ $L$ は，
$L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + {(\frac{d y}{d x})}^{2}} d x$
$\begin{equation} L = \int_{a}^{b}\sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^{2}}dx \end{equation}$
曲線 $x = \varphi(t),~y = \psi(t)~~(\alpha \le t \le \beta)$ の長さ $L$ は，
$L = \int_{α}^{β} \sqrt{{(\frac{d x}{d t})}^{2} + {(\frac{d y}{d t})}^{2}} d t$
$\begin{equation} L = \int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^{2} + \left(\frac{dy}{dt}\right)^{2}}dt \end{equation}$
曲線 $r = f(\theta)~~(\alpha \le \theta \le \beta)$ の長さ $L$ は，
$L = \int_{α}^{β} \sqrt{r^{2} + {(\frac{d r}{d θ})}^{2}} d θ$
$\begin{equation} L = \int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{r^{2} + \left(\frac{dr}{d\theta}\right)^{2}}d\theta \end{equation}$

曲線 $x = f(x)$ と $x$ 軸 $, x=a,~x=b$ で囲まれた図形を $x$ 軸のまわりに1回転してできる回転体の側面積 $S$ は，

S = \int_{a}^{b} 2 π f (x) \sqrt{1 + {f^{'} (x)}^{2}} d x

$\begin{equation} S = \int_{a}^{b}2\pi f(x) \sqrt{1 + \left\{f'(x)\right\}^{2}}dx \end{equation}$

lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k = 1}^{n} f (\frac{k}{n}) = \int_{0}^{1} f (x) d x

$\begin{equation} \lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}f\left(\frac{k}{n}\right)=\int_{0}^{1}f(x)dx \end{equation}$