統計学のための数学

行列式

行列式の性質

行列 $A, B$ を $p$ 次の正方行列， $c$ をスカラーとする．

$|cA| = c^p|A|$
$\begin{vmatrix} a_{11} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_{22} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_{pp} \end{vmatrix} = \prod_{i}a_{ii}$
$\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1p} \\ 0 & a_{22} & \cdots & a_{2p} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_{pp} \end{vmatrix} = \prod_{i}a_{ii}$
$|AB| = |A|\,|B|$
$A$ が正則 $~\Longrightarrow~|A^{-1}| = \dfrac{1}{|A|}$
$A$ が正則 $~\Longrightarrow~|A| \ne 0$
$|A^T| = |A|$
$A$ が直交行列 $~\Longrightarrow~|A| = 1~\mathrm{or}~-1$
$A$ が正定値行列 $~\Longrightarrow~|A| \le \prod_{i}a_{ii}~$ (アダマールの不等式)

余因子

$p$ 次正方行列 $A$ の第 $i$ 行と第 $j$ 列を取り除いてできる $(n-1)$ 次の行列を $A_{ij}$ と表したとき，

Δ_{i j} = (- 1)^{i + j} | A_{i j} |

$\begin{equation} \Delta_{ij} = (-1)^{i+j}|A_{ij}| \end{equation}$

を余因子と呼ぶ．

余因子展開

$i$ 行による展開
$| A | = a_{i 1} Δ_{i 1} + a_{i 2} Δ_{i 2} + \dots + a_{i p} Δ_{i p}$
$\begin{equation} |A| = a_{i1}\Delta_{i1} + a_{i2}\Delta_{i2} + \cdots + a_{ip}\Delta_{ip} \end{equation}$
$j$ 列による展開
$| A | = a_{1 j} Δ_{1 j} + a_{2 j} Δ_{2 j} + \dots + a_{p j} Δ_{p j}$
$\begin{equation} |A| = a_{1j}\Delta_{1j} + a_{2j}\Delta_{2j} + \cdots + a_{pj}\Delta_{pj} \end{equation}$

余因子行列

余因子を転置に配列してできる行列を余因子行列と呼ぶ．

\tilde{A} = (\begin{matrix} Δ_{11} & Δ_{21} & \dots & Δ_{n 1} \\ Δ_{12} & Δ_{22} & \dots & Δ_{n 2} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ Δ_{1 n} & Δ_{2 n} & \dots & Δ_{n n} \end{matrix})

$\begin{equation} \tilde{A} = \begin{pmatrix} \Delta_{11} & \Delta_{21} & \cdots & \Delta_{n1} \\ \Delta_{12} & \Delta_{22} & \cdots & \Delta_{n2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \Delta_{1n} & \Delta_{2n} & \cdots & \Delta_{nn} \end{pmatrix} \end{equation}$

逆行列

行列 $A$ が正則であるとき，

A^{- 1} = \frac{1}{| A |} \tilde{A}

$\begin{equation} A^{-1}=\dfrac{1}{|A|}\tilde{A} \end{equation}$

特に，2次の場合は，

A^{- 1} = \frac{1}{a d - b c} (\begin{matrix} d & - b \\ - c & a \end{matrix})

$\begin{equation} A^{-1}=\frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} \end{equation}$