次のような平均も分散も未知である確率変数を考える.
モデル分布は,
とする.ここで,
である.
観測値
が与えられたときの尤度関数は,
ただし,
ここで,事前分布として局所一様事前分布を用いるならば,
事前には
と
は独立であるとして,
なぜならば,これまでのことから,
事前分布として自然共役事前分布を用いるならば,
まず,
が与えられたときの
の条件付き事前分布を
とし,
の周辺事前分布を
として,次のように同時事前分布を定める.ただし,
は超母数である.
同時事後分布は,
ただし,
を定数と見なせば,
の条件付き事後分布は,
の周辺事後分布は,
の周辺事後分布は,
ここで次の積分公式を用いる.
この公式において,
とすれば,
ここで,自由度
の一般化
分布は,
なので,
一方,局所一様事前分布を用いるときは,
とすれば良く,
さらに,
番目の未知の観測値を予測するための事後予測分布は,
ただし,