統計検定 1級 過去問 解答/解答例と解説
2016年11月27日 (日) 試験

統計数理 問3 [2]

設問の要約
  • β の最小二乗推定量 b2 を求めよ.

  • b2 の期待値 E[b2] を求めよ.

解答例

二乗誤差 L は,

L=i=1n(Yiβxi)2
β で微分して 0 とおくと,
dLdβ=2i=1n(xi)(Yiβxi)=0
i=1nxi(Yiβxi)=0
i=1nxiYiβi=1nxi2=0
β=i=1nxiYii=1nxi2
よって,
b2=i=1nxiYii=1nxi2
E[b2]=E[i=1nxiYii=1nxi2]=1i=1nxi2E[i=1nxiYi]=1i=1nxi2i=1nxiE[Yi]=1i=1nxi2i=1nxiE[βxi+ϵi]=1i=1nxi2{βi=1nxi2+i=1nxiE[ϵi]}=1i=1nxi2{βi=1nxi2}=β
よって,b2β の不偏推定量である.