統計学のための数学

級数

ゼータ級数

n=11np=11p+12p+13p+  (p>0)
について,

  1. p>1ならば,収束する.

  2. p1ならば,発散する.

テイラー展開

f(x), f(x), , f(n1)(x)[a,b] で連続で,f(n)(x)(a,b) で存在するならば,

f(b)=f(a)+f(a)1!(ba)+f(a)2!(ba)2++f(n1)(a)(n1)!(ba)n1+Rn
Rn=f(n)(c)n!(ba)n    (a<c<b)

マクローリン展開

f(x)=f(0)+f(0)1!x+f(0)2!x2++f(n)(0)n!xn+
11x=1+x+x2++xn+  (|x|<1)
ex=1+11!x+12!x2+13!x3++1n!xn+  (<x<)
log(1+x)=11!x12!x2+13!x3++(1)n1(n1)!n!xn+  (|x|<1)

等比級数

|x|<1のとき,次が成り立つ.

n=0xn=11xn=0nxn1=1(1x)2n=0n(n1)xn2=2(1x)3