統計検定 1級 過去問 解答/解答例と解説
2016年11月27日 (日) 試験

統計数理 問3 [3]

設問の要約
  • V[b0], V[b1], V[b2] を求め,大小を比較せよ.

解答例

V[b0]=V[1ni=1nYixi]=1n2V[i=1nβxi+ϵixi]=1n2V[i=1n{β+ϵixi}]=1n2V[i=1nϵixi]=1n2i=1n1xi2V[ϵi]=1n2i=1n1xi2σ2=σ2n2i=1n1xi2
V[b1]=V[i=1nYii=1nxi]=1(i=1nxi)2V[i=1nYi]=1(i=1nxi)2V[i=1n(βxi+ϵi)]=1(i=1nxi)2V[i=1nϵi]=1(i=1nxi)2i=1nV[ϵi]=1(i=1nxi)2i=1nσ2=n(i=1nxi)2σ2
V[b2]=V[i=1nxiYii=1nxi2]=1(i=1nxi2)2V[i=1nxiYi]=1(i=1nxi2)2V[i=1nxi(βxi+ϵi)]=1(i=1nxi2)2V[i=1n(βxi2+xiϵi)]=1(i=1nxi2)2V[i=1nxiϵi]=1(i=1nxi2)2i=1nxi2V[ϵi]=1(i=1nxi2)2i=1nxi2σ2=1i=1nxi2σ2
シュワルツの不等式より,
(i=1naibi)2(i=1nai2)(i=1nbi2)
ここで,ai=xi, bi=1 とすると,
(i=1nxi)2n(i=1nxi2)
1n(i=1nxi)2i=1nxi2
1i=1nxi2n(i=1nxi)2
1i=1nxi2σ2n(i=1nxi)2σ2
よって,
V[b2]V[b1]
シュワルツの不等式で,ai=xi, bi=1xi とすると,
(i=1nxi1xi)2(i=1nxi2)(i=1n1xi2)
n2(i=1nxi2)(i=1n1xi2)
1i=1nxi21n2i=1n1xi2
1i=1nxi2σ2σ2n2i=1n1xi2
よって,
V[b2]V[b0]
シュワルツの不等式で,ai=1xi, bi=1 とすると,
(i=1n1xi)2n(i=1n1xi2)  (1)
xi>0 であることに注意して, シュワルツの不等式で,ai=xi, bi=1xi とすると,
n2(i=1nxi)(i=1n1xi)
両辺は共に正であり,両辺を二乗すると,
n4(i=1nxi)2(i=1n1xi)2
式 (1) より,
n4(i=1nxi)2×n(i=1n1xi)
n3(i=1nxi)2(i=1n1xi)
n(i=1nxi)21n2i=1n1xi
n(i=1nxi)2σ2σ2n2i=1n1xi
よって,
V[b1]V[b0]
以上より,
V[b2]V[b1]V[b0]
となる.