統計学にあまりでない数学

微分法

微分の公式

(sinx)=cosx
(cosx)=sinx
(tanx)=1cos2x
(sin1x)=11x2    (|x|<1)
(cos1x)=11x2    (|x|<1)
(tan1x)=11+x2

n次導関数

ライプニッツの公式

(fg)(n)=k=0nnCkf(nk)g(k)

双曲線関数

sinhx=exex2
coshx=ex+ex2
tanhx=exexex+ex
cosh2x+sinh2x=1
sinh(α±β)=sinhαcoshβ±coshαsinhβ
cosh(α±β)=coshαcoshβ±sinhsinhαsinhβ
cosh(α±β)=tanhα+tanhβ1+tanhαtanhβ
(sinhx)=coshx
(coshx)=sinhx
(tanhx)=1cosh2x
(sinh1x)=11+x2
(cosh1x)=±11x2
(tanh1x)=11x2

ロルの定理

関数 f(x) が閉区間 [a,b] で連続,開区間 (a,b) で微分可能,f(a)=f(b)=0 のとき, f(c)=0 となる c(a,b) 内に少なくとも 1 つ存在する.

平均値の定理

関数 f(x) が閉区間 [a,b] で連続,開区間 (a,b) で微分可能のとき,

f(b)f(a)ba=f(c)    (a<c<b)
となる c が少なくとも 1 つ存在する.

コーシーの平均値の定理

関数 f(x), g(x) が閉区間 [a,b] で連続,開区間 (a,b) で微分可能,[a,b]g(x)0 のとき,

f(b)f(a)g(b)g(a)=f(c)g(c)    (a<c<b)
となる c が少なくとも 1 つ存在する.