ベイズ統計学

自然共役事前分布の場合

与えられた尤度に対して事前分布も事後分布も同じ分布族に属するならば,それらはその尤度に対して自然共役であるという. 自然共役事前分布は一般のモデル分布に対していつも存在するというもでない. しかし,少なくとも指数分布族に属するならば存在することがわかっている.

尤度関数が次で与えられた時,この尤度と共役な分布族はベータ分布であることがわかっている.

l(πy)πy(1π)ny
y=i=1nyi
事前分布としてベータ分布 Be(a0,b0) を用いると,
p(π)πa01(1π)b01
よって,事後分布は,
p(πy)=l(πy)p(π)πa0+y1(1π)b0+ny1=DBe(a0+y,b0+ny)
よって,事前分布も事後分布もベータ分布となる. 自然共役事前分布を選ぶということは,事前分布の母数の値を定めることに等しい. このような母数を超母数 (ハイパーパラメータ) と呼ぶ. 自然共役事前分布は,事前分布を定める労力を低減させ, 事後分布に関する数学的利便性を向上させるものといえる.