統計検定 1級 過去問 解答/解答例と解説
2016年11月27日 (日) 試験

統計数理 問4 [3]

設問の要約
  • UU[0,1]

  • θ=E[12πexp[U22]]

  • U1,,UnU[0,1], i.i.d.

  • θ^3=1n×12πi=1nexp[Ui22]

  • V[θ^3] を求めよ.

解答例

V[θ^3]=V[1n×12πi=1nexp[Ui22]]=1n2V[i=1n12πexp[Ui22]]=1n2i=1nV[12πexp[Ui22]]=1n2nV[12πexp[U22]]=1nV[12πexp[U22]]=1n{E[(12πexp[U22])2](E[12πexp[U22]])2}=1n{E[(12πexp[U22])2]θ2}
E[(12πexp[U22])2]=01(12πexp[u22])2du=12π01exp[u2]du
u=v2 とおくと,dudv=12 であるので,
E[(12πexp[U22])2]=12π0212exp[v22]dv=12π0212πexp[v22]dv=12πP(0Z2)=12π{P(Z0)P(Z2)}12π{0.50.0793}=12π×0.42070.1187
V[θ^3]1n{0.1187θ2}0.0022n