ベイズ統計学

事前分布を一様分布とした場合

次のような確率変数とモデル分布を考える.

Y1,Y2,,Yni.i.d.Ber(π)
m(yπ)=πy(1π)1y,    y=0,1,    0π1
ここで,観測値 Y1=y1,Y2=y2,,Yn=yn を得たとし, y=(y1,y2,,yn) と書くとする. このとき,尤度関数は,
l(πy)i=1nπyi(1π)1yi=πy(1π)ny
y=i=1nyi
π についての情報を得るには,ny だけを知れば良い.これらを十分統計量と呼ぶ. ただし,n について知る必要があるのは当然であるので,十分統計量から省略されることが多い. 十分統計量を使うと,
l(πy,n)πy(1π)ny
ここではとりあえず,事前分布を次のようにする.
p(π)=1,    0π1
このとき,事後分布は,
p(πy)l(πy)p(π)=πy(1π)ny
この事後分布が確率分布となるためには,
01p(πy)dπ=c01πy(1π)nydπ=1c=1B(y+1,ny+1)p(πy)=1B(y+1,ny+1)πy(1π)ny
ただし,B() はベータ関数である.