統計学にあまりでない数学

偏微分

合成関数の微分法

$z=f(x,~y)$ は偏微分可能で偏導関数が連続であるとする．

$x=\phi(t), y=\psi(t)$ は微分可能で導関数が連続であるとする．このとき， $z$ は $t$ について微分可能で，
$\frac{\partial z}{\partial t} = \frac{\partial z}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial t} + \frac{\partial z}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial t}$
$\begin{equation} \frac{\partial z}{\partial t} = \frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial t} + \frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial t} \end{equation}$
$x=\phi(u,~v), y=\psi(u,~v)$ は偏微分可能で偏導関数が連続であるとする．このとき， $z$ は $u,~v$ について偏微分可能で，
$\frac{\partial z}{\partial u} = \frac{\partial z}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial u} + \frac{\partial z}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial u}$
$\begin{equation} \frac{\partial z}{\partial u} = \frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial u} + \frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial u} \end{equation}$

$\frac{\partial z}{\partial v} = \frac{\partial z}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial v} + \frac{\partial z}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial v}$
$\begin{equation} \frac{\partial z}{\partial v} = \frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial v} + \frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial v} \end{equation}$

陰関数のおける導関数

陰関数 $f(x,~y)$ において，次が成り立つ．

\frac{d y}{d x} = - \frac{f_{x}}{f_{y}} \frac{d^{2} y}{d x^{2}} = - \frac{f_{x x} f_{y}^{2} - 2 f_{x y} f_{x} f_{y} + f_{x}^{2} f_{y y}}{f_{y}^{3}}

$\begin{equation} \frac{dy}{dx} = -\frac{f_{x}}{f_{y}} \\ \frac{d^{2}y}{dx^{2}} = -\frac{f_{xx}f_{y}^{2}-2f_{xy}f_{x}f_{y}+f_{x}^{2}f_{yy}}{f_{y}^{3}} \end{equation}$

接平面の方程式

曲面 $z=f(x,y)$ の $(a,b)$ における接平面の方程式は，
$z - f (a, b) = f_{x} (a, b) (x - a) + f_{y} (a, b) (y - b)$
$\begin{equation} z - f(a,b) = f_{x}(a,b)(x-a) + f_{y}(a,b)(y-b) \end{equation}$
曲面 $f(x,y,z)=0$ の $(a,b,c)$ における接平面の方程式は，
$f_{x} (a, b, c) (x - a) + f_{y} (a, b, c) (y - b) + f_{z} (a, b, c) (z - c) = 0$
$\begin{equation} f_{x}(a,b,c)(x-a) + f_{y}(a,b,c)(y-b) + f_{z}(a,b,c)(z-c) = 0 \end{equation}$

極値の判定

H (a, b) = f_{x x} (a, b) \cdot f_{y y} (a, b) - {f_{x y} (a, b)}^{2}

$\begin{equation} H(a, b)=f_{xx}(a,b)\cdot f_{yy}(a,b)-\{f_{xy}(a,b)\}^{2} \end{equation}$

とするとき，次が成り立つ (

H

$H$ はヘッシアンという)．

$H(a,b) > 0$ のとき，
1. $f_{xx}(a,b) > 0$ ならば， $f(a,b)$ は極小値．
2. $f_{xx}(a,b) < 0$ ならば， $f(a,b)$ は極大値．
$H(a,b) < 0$ のとき， $f(a, b)$ は極値でない (鞍点になる)．
$H(a,b) = 0$ のとき，判定不能．