統計学にあまりでない数学

級数

ダランベールの判定法

  1. limnan+1an<1 ならば,収束する.

  2. limnan+1an>1 ならば,発散する.

コーシーの判定法

  1. limnann<1 ならば,収束する.

  2. limnann>1 ならば,発散する.

ライプニッツの定理

交代級数n=1(1)n1anは,{an}が単調現象, かつ,limnan=0ならば,収束する.

絶対収束

級数n=1anにおいて,n=1|an|が収束するとき, n=1anは絶対収束するという.

絶対収束する級数は収束する.

収束半径

整級数n=1anxnに対し,|x|<rのとき絶対収束し, |x|>rのとき発散するようなr (0r)が存在する.

級数n=1anxnの収束半径と正項級数n=1|anxn|の収束半径は一致する. したがって,n=1anxnの収束半径を調べるには, n=1|anxn|に,ダランベールの判定法あるいはコーシーの判定法を用いる.

マクローリン展開

f(x)=f(0)+f(0)1!x+f(0)2!x2++f(n)(0)n!xn+
sinx=11!x13!x3+15!x517!x7++(1)n1(2n+1)!x2n+1+  (<x<)
cosx=112!x2+14!x416!x6++(1)n1(2n)!x2n+  (<x<)
tanx=1+13!x3+215x5+17315x7+  (|x|<π2)
sinhx=11!x+13!x3+15!x5+17!x7++1(2n+1)!x2n+1+  (<x<)
coshx=1+12!x2+14!x4+16!x6++1(2n)!x2n+  (<x<)
tanhx=113!x3+215x517315x7+  (|x|<π2)