統計学にあまりでない数学

同次形

次の形の微分方程式を同次形という．

\frac{d y}{d x} = f (\frac{y}{x})

$\begin{equation} \frac{dy}{dx} = f\left(\frac{y}{x}\right) \end{equation}$

v = \frac{y}{x}

$v = \frac{y}{x}$ とおくと，

y = x v

$y = xv$ であるから，

\frac{d y}{d x} = v + x \frac{d v}{d x}

$\begin{equation} \frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx} \end{equation}$

よって，与式は

v + x \frac{d v}{d x} = f (v)

$\begin{equation} v + x \frac{dv}{dx} = f(v) \end{equation}$

⟺ x \frac{d v}{d x} = f (v) - v

$\begin{equation} \Longleftrightarrow x \frac{dv}{dx} = f(v) - v \end{equation}$

となり，変数分離形に帰着する．