統計検定 1級 過去問 解答/解答例と解説
2016年11月27日 (日) 試験

統計数理 問2 [1]

設問の要約
  • E[X]=1λ を示せ.

解答例

E[X]=0xf(x)dx=0xλeλxdx=λ0xeλxdx=λ[x1(λ)eλx]0λ01(λ)eλxdx=[xeλx]0+0eλxdx=[xeλx]01λ[1eλx]0=(limxxeλx0)1λ(01)=limxxeλx+1λ
ロピタルの定理より,
limxxeλx=limx1eλx=0
よって,
E[X]=1λ

補足1: 別解

E[X]=0xf(x)dx=0xλeλxdx=λ0x21eλxdx=λΓ(2)λ2=λ(21)!λ2=1λ