統計学のための数学

シュワルツの不等式

(i=1naibi)2(i=1nai2)(i=1nbi2)
統合は ai=kbi (i=1,2,,n) のとき成り立つ.

[証明]

i=1n(aixbi)20
 i=1n(ai2x22aibix+bi2)20
 (i=1nai2)x22(i=1naibi)x+i=1nbi20
(i=1nai2)>0 であるので,上式を 2 次関数とみなすことができる. 2 次関数が常に 0 以上となるには,判別式 0 でなければならないので,
22(i=1naibi)24(i=1nai2)(i=1nbi2)0
 (i=1naibi)2(i=1nai2)(i=1nbi2)