統計学のための数学

数列

等差数列

初項 a,公差 d の等差数列の一般項 ai は,

ai=a+(i1)d
この数列の第 n 項までの和 Sn は,
Sn=i=1nai=i=1n{a+(i1)d}=n2{2a+(n1)d}

等比数列

初項 a,公比 r の等比数列の一般項 ai は,

ai=ari1
この数列の第 n 項までの和 Sn は,
Sn=i=1nai={a(1rn)1r(r1)na(r=1)
|r|<1 のとき,この数列の無限和は,
i=1ai=a1r

自然数の累乗の和

k=1nk=n(n+1)2

k=1nk2=n(n+1)(2n+1)6

k=1nk3={n(n+1)2}2

k=1nk4=n(n+1)(2n+1)(3n2+3n1)30

望遠鏡公式

k=1nk(k1)=k=1n(k+1)k(k1)k(k1)(k2)3=(n+1)n(n1)3
k=1nk(k+1)=k=1nk(k+1)(k+2)(k1)k(k+1)3=n(n+1)(n+2)3
k=1nkk!=k=1n(k+11)k!=k=1n{(k+1)!k!}=(n+1)!1

二項定理

(x+y)n=k=0nnCkxkynk

多項定理

以下,3項の場合を考える.

(x+y+z)n=klmk+l+m=nk,l,m0n!k!l!m!xkylzm