統計検定 1級 過去問 解答/解答例と解説
2016年11月27日 (日) 試験

統計応用 問4 [4]

設問の要約
  • Y : 修理に持ち込まれた PC の数が 0 の日の数

  • f(y)=P(Y=y)=λyeλ/y!1eλ    (y=1,2,)

  • モーメント関数 MY(t) を求めよ.

  • 期待値 E[Y] を求めよ.

  • パラメータ λ の推定方法を論ぜよ.

解答例

MY(t)=y=1eytλyeλ/y!1eλ=eλ1eλy=1(λet)yy!=eλ1eλ{y=0(λet)yy!1}=eλ1eλ(eλet1)
MY(t)=eλ1eλeλetλet
E[Y]=MY(0)=eλ1eλeλe0λe0=eλ1eλeλλ=λ1eλ
これより,
y¯=λ^1eλ^
観測値が得られ,y¯ を計算し,上式を満たす λ^ を求めることで最尤推定値を得る.

補足1: 最尤推定値 λ^ の計算

尤度関数は,

L=i=1nλyieλ/yi!1eλ=enλ(1eλ)ni=1nλyiyi!
対数尤度関数は,
=logL=logenλ(1eλ)ni=1nλyiyi!=logenλ(1eλ)n+logi=1nλyiyi!=nλnlog(1eλ)+i=1nlogλyiyi!=nλnlog(1eλ)+i=1n{yilogλlogyi!}=nλnlog(1eλ)+logλi=1nyii=1nlogyi!=nλnlog(1eλ)+ny¯logλi=1nlogyi!
λ で微分して 0 とおくと,
ddλ=nn1eλ(eλ)(1)+ny¯λ=0
n{1eλ1eλ+y¯λ}=0
1eλ1eλ+y¯λ=0
11eλ+y¯λ=0
y¯=λ1eλ
よって,λ の最尤推定量 λ^は,次の式を満たすように選べばよい.
y¯=λ^1eλ^