統計学のための数学

積分法

不定積分の公式

xadx=1a+1xa+1+C
1xdx=log|x|+C
exdx=ex+C
axdx=axloga    (a>0, a1)
f(x)f(x)dx=log|f(x)|+C

置換積分

t=ϕ(x) とする.

f(x)dx=f(ϕ1(t))|ϕ1(t)|dt

部分積分

f(x)g(x)dx=f(x)g(x)f(x)g(x)dx

ガンマ関数

ガンマ関数の定義

Γ(x)=0tx1etdt    (x>0)

ガンマ関数の性質

  1. Γ(x+1)=xΓ(x)    (x>0)

  2. Γ(1)=1

  3. Γ(n)=(n1)!    (nN)

  4. Γ(12)=π

ベータ関数

ベータ関数の定義

B(x,y)=01tx1(1t)y1dt    (x>0,y>0)

ベータ関数の性質

  1. B(x,y)=B(y,x)

  2. B(x,y)=Γ(x)Γ(y)Γ(x+y)

  3. B(m,n)=(m1)!(n1)!(m+n1)!    (m,nN)

重積分での変数変換

x=ϕ(s,t), y=ψ(s,t) とする.ただし,それぞれの関数 ϕψ は 1 対 1 の変換であり,微分可能で,偏導関数は連続であるとする.

Df(x,y)dxdy=Df(ϕ(s,t), ψ(s,t))|J|dsdt
D={(s,t)x=ϕ(s,t),y=ψ(s,t),(x,y)D}
J=|xsxtysyt|

重要な公式1

ea(xb)2dx=πa

重要な公式2

[例]

0ex2dx=π2

[証明]

(0ex2dx)2=limt{0tex2dx0tey2dy}=limt0t0tex2y2dxdy=limt0t0π2er2rdθdr=limtπ4(1et2)=π4
0ex2dx=π2