統計学のための数学

漸化式

3項間漸化式

an+2=pan+1+qan    (p0, q0)
特性方程式 t2ptq の解を α,β とすると,解と係数の関係から,
α+β=p
αβ=q

  1. αβ のとき:

    an+2αan+1=β(an+1αan)an+2βan+1=α(an+1βan)
    これらより,
    an+1αan=(a2αa1)βn1an+1βan=(a2βa1)αn1
    両辺をひくと,
    an=1(βα){(a2αa1)βn1(a2βa1)αn1}

  2. α=β のとき:

    an+1αan=(a2αa1)αn1
    両辺を an+1 (a0) で割ることにより,
    an+1αn+1αanαn+1=(a2αa1)αn1αn+1
    an+1αn+1anαn=a2α2a1α
    数列{anαn} は等差数列だから,
    anαn=a1α+(n1)(a2α2a1α)
    an={a1+(n1)(a2αa1)}αn1

連立漸化式

{an+1=pan+qbnbn+1=ran+sbn
{an} だけについての 3 項間漸化式を導くと,
an+2=(p+s)an+1(psqr)an
後は前述のように 3 項間漸化式を解けばよい.