統計検定 1級過去問解答/解答例と解説
2015年11月29日 (日) 試験

統計数理問4 [4]

設問の要約

$p_{ij}~(i,j = 1, \ldots, I)$ から $\theta_i$ ， $\phi_j$ , $\lambda_{ij}$ への変換は一対一であることを示せ．
$θ_{i} = \log \frac{p_{i 1}}{p_{11}} (i = 2, \dots, I)$
$\begin{equation} \theta_i = \log\frac{p_{i1}}{p_{11}}~~~~(i = 2, \ldots, I) \end{equation}$

$ϕ_{j} = \log \frac{p_{1 j}}{p_{11}} (j = 2, \dots, I)$
$\begin{equation} \phi_j = \log\frac{p_{1j}}{p_{11}}~~~~(j = 2, \ldots, I) \end{equation}$

$λ_{i j} = \log \frac{p_{i j} p_{11}}{p_{i 1} p_{1 j}} (i, j = 2, \dots, I)$
$\begin{equation} \lambda_{ij} = \log\frac{p_{ij}p_{11}}{p_{i1}p_{1j}}~~~~(i,j = 2, \ldots, I) \end{equation}$

解答例

$\theta_i$ と $\phi_j$ の式より，

p_{i 1} = p_{11} e^{θ_{i}} (i = 2, \dots, I)

$\begin{equation} p_{i1} = p_{11}\,e^{\theta_i}~~(i = 2, \ldots, I) \end{equation}$

p_{1 j} = p_{11} e^{ϕ_{i}} (j = 2, \dots, I)

$\begin{equation} p_{1j} = p_{11}\,e^{\phi_i}~~(j = 2, \ldots, I) \end{equation}$

\begin{aligned} p_{i j} & = p_{11} p_{i 1} p_{j 1} e^{λ_{i j}} \\ = p_{11} e^{λ_{i j} + θ_{i} + ϕ_{j}} (i, j = 2, \dots, I) \end{aligned}

$\begin{align} p_{ij} &= p_{11}\,p_{i1}\,p_{j1}\,e^{\lambda_{ij}} \\ &= p_{11}\,e^{\lambda_{ij} + \theta_i + \phi_j}~~(i, j = 2, \ldots, I) \end{align}$

ところで，

\sum_{i, j = 1}^{I} p_{i j} = 1

$\sum_{i, j = 1}^{I} p_{ij} = 1$ であることから，

p_{11} + \sum_{i = 2}^{I} p_{i 1} + \sum_{j = 2}^{I} p_{1 j} + \sum_{i, j = 2}^{I} p_{i j} = 1

$\begin{equation} p_{11} + \sum_{i = 2}^{I} p_{i1} + \sum_{j = 2}^{I} p_{1j} + \sum_{i, j = 2}^{I} p_{ij} = 1 \end{equation}$

p_{11} + \sum_{i = 2}^{I} p_{11} e^{θ_{i}} + \sum_{j = 2}^{I} p_{11} e^{ϕ_{i}} + \sum_{i, j = 2}^{I} p_{11} e^{λ_{i j} + θ_{i} + ϕ_{j}} = 1

$\begin{equation} p_{11} + \sum_{i = 2}^{I} p_{11}\,e^{\theta_i} + \sum_{j = 2}^{I} p_{11}\,e^{\phi_i} + \sum_{i, j = 2}^{I} p_{11}\,e^{\lambda_{ij} + \theta_i + \phi_j} = 1 \end{equation}$

p_{11} {1 + \sum_{i = 2}^{I} e^{θ_{i}} + \sum_{j = 2}^{I} e^{ϕ_{i}} + \sum_{i, j = 2}^{I} e^{λ_{i j} + θ_{i} + ϕ_{j}}} = 1

$\begin{equation} p_{11}\left\{1 + \sum_{i = 2}^{I}e^{\theta_i} + \sum_{j = 2}^{I}e^{\phi_i} + \sum_{i, j = 2}^{I}e^{\lambda_{ij} + \theta_i + \phi_j}\right\} = 1 \end{equation}$

p_{11} = \frac{1}{1 + \sum_{i = 2}^{I} e^{θ_{i}} + \sum_{j = 2}^{I} e^{ϕ_{i}} + \sum_{i, j = 2}^{I} e^{λ_{i j} + θ_{i} + ϕ_{j}}}

$\begin{equation} p_{11} = \frac{1}{1 + \sum_{i = 2}^{I}e^{\theta_i} + \sum_{j = 2}^{I}e^{\phi_i} + \sum_{i, j = 2}^{I}e^{\lambda_{ij} + \theta_i + \phi_j}} \end{equation}$

以上より，一対一である．

統計検定 1級 過去問 解答/解答例と解説 2015年11月29日 (日) 試験

統計数理 問4 [4]

設問の要約

解答例

統計検定 1級過去問解答/解答例と解説
2015年11月29日 (日) 試験

統計数理問4 [4]