統計検定 1級 過去問 解答/解答例と解説
2015年11月29日 (日) 試験

統計応用 問5 [5]

設問の要約
  • σ2 の最尤推定値の式を示せ.

  • 最尤推定値と不偏推定値の関係を示せ.

解答例

σ2 の最尤推定値 σ^2は,次の式から求める.

σ^2=1abri=1aj=1bk=1r(xijkx¯ij)2
よって,
σ^2=160×132.80=2.21
一方,不偏推定値は,表3 の (エ) の値である 2.46 となる.

補足1: 最尤推定値 σ^2 の求め方

xijk=μ+αi+βj+(αβ)ij+ϵijk
ϵijkN(0,σ2), i.i.d.
なので,確率変数 xijk について,
E[xijk]=E[μ+αi+βj+(αβ)ij+ϵijk]=μ+αi+βj+(αβ)ij+E[ϵijk]=μ+αi+βj+(αβ)ij
V[xijk]=V[μ+αi+βj+(αβ)ij+ϵijk]=V[ϵijk]=σ2
となることから,
xijkN(μ+αi+βj+(αβ)ij,σ2)
ここで,
α=(α1,,αa)
β=(β1,,βb)
αβ=(α1β1,,αaβb)
とおく.観測値が得られたときの尤度 L は,
L(μ,α,β,(αβ),σ2)    =i=1aj=1bk=1r12πσ2exp[{xijk(μ+αi+βj+(αβ)ij)}22σ2]    =(2πσ2)abr2i=1aj=1bk=1rexp[{xijk(μ+αi+βj+(αβ)ij)}22σ2]    =(2πσ2)abr2exp[i=1aj=1bk=1r{xijk(μ+αi+βj+(αβ)ij)}22σ2]    =(2πσ2)abr2exp[12σ2i=1aj=1bk=1r{xijk(μ+αi+βj+(αβ)ij)}2]
対数尤度 は,
=logL(μ,α,β,(αβ),σ2)=log(2πσ2)abr2exp[12σ2i=1aj=1bk=1r{xijk(μ+αi+βj+(αβ)ij)}2]    =log(2π)abr2+log(σ2)abr2+logexp[12σ2i=1aj=1bk=1r{xijk(μ+αi+βj+(αβ)ij)}2]=abr2log2πabr2logσ212σ2i=1aj=1bk=1r{xijk(μ+αi+βj+(αβ)ij)}2
μ で微分して 0 とおくと,
ddμ=1σ2i=1aj=1bk=1r{xijk(μ+αi+βj+(αβ)ij)}=0
i=1aj=1bk=1r{xijk(μ+αi+βj+(αβ)ij)}=0
i=1aj=1bk=1rxijki=1aj=1bk=1rμi=1aj=1bk=1rαii=1aj=1bk=1rβji=1aj=1bk=1r(αβ)ij=0
i=1aj=1bk=1rxijkabrμ=0
abrμ=i=1aj=1bk=1rxijk
μ=1abri=1aj=1bk=1rxijk
μ^=x¯
αi で微分して 0 とおくと,
ddαi=1σ2j=1bk=1r{xijk(μ+αi+βj+(αβ)ij)}=0
j=1bk=1r{xijk(μ+αi+βj+(αβ)ij)}=0
j=1bk=1rxijkj=1bk=1rμj=1bk=1rαij=1bk=1rβjj=1bk=1r(αβ)ij=0
j=1bk=1rxijkbrμbrαi=0
αi=1brj=1bk=1rxijkμ
α^i=x¯ix¯
同様にして,
β^i=x¯jx¯
(αβ)ij で微分して 0 とおくと,
dd(αβ)ij=1σ2k=1r{xijk(μ+αi+βj+(αβ)ij)}=0
k=1r{xijk(μ+αi+βj+(αβ)ij)}=0
k=1rxijkk=1r(μ+αi+βj+(αβ)ij)=0
k=1rxijkr(μ+αi+βj+(αβ)ij)=0
x¯ij(μ+αi+βj+(αβ)ij)=0
(αβ)ij=x¯ijμαiβj
(αβ)^ij=x¯ijx¯(x¯ix¯)(x¯jx¯)=x¯ijx¯ix¯j+x¯
σ2 で微分して 0 とおくと,
ddσ2=abr21σ2+12(σ2)2i=1aj=1bk=1r{xijk(μ+αi+βj+(αβ)ij)}2=0
12σ2{abr+1σ2i=1aj=1bk=1r{xijk(μ+αi+βj+(αβ)ij)}2}=0
σ2>0 であることから,
abr+1σ2i=1aj=1bk=1r{xijk(μ+αi+βj+(αβ)ij)}2=0
σ2=1abri=1aj=1bk=1r{xijk(μ+αi+βj+(αβ)ij)}2
σ^2=1abri=1aj=1bk=1r{xijk(x¯+(x¯ix¯)+(x¯jx¯)+(x¯ijx¯ix¯j+x¯))}2=1abri=1aj=1bk=1r(xijkx¯ij)2