統計検定 1級 過去問 解答/解答例と解説
2015年11月29日 (日) 試験

統計数理 問3 [1]

設問の要約
  • β1,β2,β3 の最小二乗推定量 β^1,β^2,β^3 の満たす正規方程式を求めよ.

  • 次を示せ.

    β^1=1S11S22S122(S22S1yS12S2y)

  • β^2 を求めよ.

解答例

正規方程式は次の式で与えられる.

(XX)β^=Xy
よって,
(111x11x12x1nx21x22x2n)(1x11x211x12x221x1nx2n)(β^0β^1β^2)=(111x11x12x1nx21x22x2n)(y1y2yn)
(n000S11S120S12S22)(β^0β^1β^2)=(i=1nyiS1yS2y)
クラメールの公式より,
β^1=|ni=1nyi00S1yS120S2yS22||n000S11S120S12S22|=n|S1yS12S2yS22|n|S11S12S12S22|=S22S1yS12S2yS11S22S122
β^2=|n0i=1nyi0S11S1y0S12S2y||n000S11S120S12S22|=n|S11S1yS12S2y|n|S11S12S12S22|=S11S2yS12S1yS11S22S122