統計検定 1級 過去問 解答/解答例と解説
2015年11月29日 (日) 試験

統計数理 問5 [2]

設問の要約
  • 標本の相関係数は,次のように表わせることを示せ.

    r=n1n2(y¯1y¯2)n(n1)s2

解答例

確率変数 (X,Y) に対し,観測値 (x1,y1), , (xn1,yn1), (xn1+1,yn1+1), , (xnyn) を得られたとする. ただし,

xi={a(i=1,,n1)a(i=n1+1,,n)
[1] より,
E[Y]=y¯
V[Y]=s2
X の期待値と分散を求める.
E[X]=1ni=1nxi=1n(i=1n1xi+i=n1+1nxi)=1n(i=1n1ai=n1+1na)=1n(n1an2a)=a(n1n2)n
E[X2]=1ni=1nxi2=1n(i=1n1xi2+i=n1+1nxi2)=1n(i=1n1a2+i=n1+1na2)=1ni=1na2=1nna2=a2
V[X]=nn1{E[X2](E[X])2}=nn1{a2a2(n1n2)2n2}=a2n(n1){n2(n1n2)2}=a2n(n1){(n1+n2)2(n1n2)2}=a2n(n1)4n1n2=4a2n1n2n(n1)
E[XY]=1ni=1nxiyi=1n(i=1n1xiyi+i=n1+1nxiyi)=1n(i=1n1ayii=n1+1nayi)=an(i=1n1yii=n1+1nyi)=an(n1y¯1n2y¯2)
Cov[X,Y]=nn1(E[XY]E[X]E[Y])=nn1{an(n1y¯1n2y¯2)a(n1n2)ny¯}=nn1{an(n1y¯1n2y¯2)a(n1n2)n1n(n1y¯1+n2y¯2)}=an(n1){n(n1y¯1n2y¯2)(n1n2)(n1y¯1+n2y¯2)}=an(n1){nn1y¯1nn2y¯2(n1n2)n1y¯1(n1n2)n2y¯2}=an(n1){nn1y¯1(n1n2)n1y¯1nn2y¯2(n1n2)n2y¯2}=an(n1){(nn1+n2)n1y¯1(n+n1n2)n2y¯2}=an(n1){2n1n2y¯12n1n2y¯2}=2an1n2n(n1)(y¯1y¯2)
rXY=Cov[X,Y]V[X]V[Y]=2an1n2n(n1)(y¯1y¯2)4a2n1n2n(n1)s2=2an1n2n(n1)n(n1)4a2n1n2s2(y¯1y¯2)=n1n2n(n1)s2(y¯1y¯2)