統計検定 1級過去問解答/解答例と解説
2015年11月29日 (日) 試験

統計数理問4 [2]

設問の要約

$H_0 : p_{ij} = p_{ji}~(i \ne j)$
$m_{ij}$ : $H_0$ の下での期待度数
$H_0$ の下での期待度数 $m_{ij}~(i, j = 1, \ldots, I)$ の最尤推定値を求めよ．

解答例

尤度関数 $L$ は，

L = \frac{N!}{\prod_{i, j = 1}^{I} x_{i j}!} \prod_{i, j = 1}^{I} {(p_{i j})}^{x_{i j}}

$\begin{equation} L = \frac{N!}{\prod_{i, j=1}^{I}x_{ij}!}\prod_{i, j=1}^{I}\left(p_{ij}\right)^{x_{ij}} \end{equation}$

ただし，次の制約がある．

\sum_{i, j = 1}^{I} p_{i j} = 1

$\begin{equation} \sum_{i, j=1}^{I}p_{ij} = 1 \end{equation}$

\sum_{i, j = 1}^{I} x_{i j} = N

$\begin{equation} \sum_{i, j=1}^{I}x_{ij} = N \end{equation}$

対数尤度関数

ℓ

$\ell$ は，

\begin{aligned} ℓ & = \log L \\ = \log [\frac{N!}{\prod_{i, j = 1}^{I} x_{i j}!} \prod_{i, j = 1}^{I} {(p_{i j})}^{x_{i j}}] \\ = \log N! - \sum_{i, j = 1}^{I} \log x_{i j}! + \sum_{i, j = 1}^{I} x_{i j} \log p_{i j} \end{aligned}

$\begin{align} \ell &= \log L \\ &= \log \left[\frac{N!} {\prod_{i, j=1}^{I}x_{ij}!}\prod_{i, j=1}^{I}\left(p_{ij}\right)^{x_{ij}}\right] \\ &= \log N! - \sum_{i, j=1}^{I} \log x_{ij}! + \sum_{i, j=1}^{I} x_{ij} \log p_{ij} \\ \end{align}$

等式制約を含んだラグランジュ関数 $L'$ は，

\begin{aligned} L^{'} & = \log N! - \sum_{i, j = 1}^{I} \log x_{i j}! \\ + \sum_{i, j = 1}^{I} x_{i j} \log p_{i j} \\ + λ (\sum_{i, j = 1}^{I} p_{i j} - 1) \end{aligned}

$\begin{align} L' &= \log N! - \sum_{i, j=1}^{I} \log x_{ij}! \\ &~~~~+ \sum_{i, j=1}^{I} x_{ij} \log p_{ij} \\ &~~~~+ \lambda\left(\sum_{i, j=1}^{I}p_{ij} - 1\right) \end{align}$

ここで．仮説

H_{0} : p_{i j} = p_{j i} (i \neq j)

$H_0~:~p_{ij} = p_{ji}~~(i \ne j)$ の下では，

\sum_{i, j = 1}^{I} x_{i j} \log p_{i j} = \sum_{i = 1}^{I} \sum_{j = i + 1}^{I} (x_{i j} + x_{j i}) \log p_{i j} + \sum_{i = 1}^{I} x_{i i} \log p_{i i}

$\begin{equation} \sum_{i, j=1}^{I} x_{ij} \log p_{ij} = \sum_{i=1}^{I} \sum_{j=i+1}^{I} (x_{ij} + x_{ji}) \log p_{ij} + \sum_{i=1}^{I} x_{ii} \log p_{ii} \end{equation}$

また，

\sum_{i, j = 1}^{I} p_{i j} = 2 \sum_{i = 1}^{I} \sum_{j = i + 1}^{I} p_{i j} + \sum_{i = 1}^{I} p_{i i}

$\begin{equation} \sum_{i, j=1}^{I}p_{ij} = 2\sum_{i=1}^{I}\sum_{j=i+1}^{I}p_{ij} + \sum_{i=1}^{I}p_{ii} \end{equation}$

を用いると，

\begin{aligned} L^{'} & = \log N! - \sum_{i, j = 1}^{I} \log x_{i j}! \\ + \sum_{i = 1}^{I} \sum_{j = i + 1}^{I} (x_{i j} + x_{j i}) \log p_{i j} + \sum_{i = 1}^{I} x_{i i} \log p_{i i} \\ + λ (2 \sum_{i = 1}^{I} \sum_{j = i + 1}^{I} p_{i j} + \sum_{i = 1}^{I} p_{i i} - 1) \end{aligned}

$\begin{align} L' &= \log N! - \sum_{i, j=1}^{I} \log x_{ij}! \\ &~~~~+ \sum_{i=1}^{I} \sum_{j=i+1}^{I} (x_{ij} + x_{ji}) \log p_{ij} + \sum_{i=1}^{I} x_{ii} \log p_{ii} \\ &~~~~+ \lambda\left(2\sum_{i=1}^{I}\sum_{j=i+1}^{I}p_{ij} + \sum_{i=1}^{I}p_{ii} - 1\right) \end{align}$

$L'$ を $p_{ij}~(i \ne j)$ で偏微分して 0 とおくと，

\frac{\partial L^{'}}{\partial p_{i j}} = (x_{i j} + x_{j i}) \frac{1}{p_{i j}} + 2 λ = 0

$\begin{equation} \frac{\partial L'}{\partial p_{ij}} = (x_{ij} + x_{ji})\frac{1}{p_{ij}} + 2\lambda = 0 \end{equation}$

∴ p_{i j} = - \frac{1}{2 λ} (x_{i j} + x_{j i})

$\begin{equation} \therefore~~p_{ij} = -\frac{1}{2\lambda}(x_{ij} + x_{ji}) \end{equation}$

両辺を

\sum_{i, j = 1}^{I}

$\sum_{i, j=1}^{I}$ で和をとると，

\sum_{i, j = 1}^{I} p_{i j} = - \frac{1}{2 λ} \sum_{i, j = 1}^{I} (x_{i j} + x_{j i})

$\begin{equation} \sum_{i, j=1}^{I}p_{ij} = -\frac{1}{2\lambda}\sum_{i, j=1}^{I}(x_{ij} + x_{ji}) \end{equation}$

1 = - \frac{1}{2 λ} (N + N)

$\begin{equation} 1 = -\frac{1}{2\lambda}(N + N) \end{equation}$

∴ λ = - N

$\begin{equation} \therefore~~\lambda = -N \end{equation}$

よって，

{\hat{p}}_{i j} = \frac{x_{i j} + x_{j i}}{2 N}

$\begin{equation} \hat{p}_{ij} = \frac{x_{ij} + x_{ji}}{2N} \end{equation}$

L^{'}

$L'$ を

p_{i i}

$p_{ii}$ で偏微分して 0 とおくと，

\frac{\partial L^{'}}{\partial p_{i i}} = x_{i i} \frac{1}{p_{i i}} + λ = 0

$\begin{equation} \frac{\partial L'}{\partial p_{ii}} = x_{ii}\frac{1}{p_{ii}} + \lambda = 0 \end{equation}$

よって，

{\hat{p}}_{i i} = \frac{x_{i i}}{N}

$\begin{equation} \hat{p}_{ii} = \frac{x_{ii}}{N} \end{equation}$

結局、

i \neq j

$i \ne j$ と

i = j

$i = j$ の両条件を合わせると、

{\hat{p}}_{i j} = \frac{x_{i j} + x_{j i}}{2 N}

$\begin{equation} \hat{p}_{ij} = \frac{x_{ij} + x_{ji}}{2N} \end{equation}$

期待度数

{\hat{m}}_{i j}

$\hat{m}_{ij}$ は，

{\hat{m}}_{i j} = N \times {\hat{p}}_{i j} = N \times \frac{x_{i j} + x_{j i}}{2 N} = \frac{x_{i j} + x_{j i}}{2}

$\begin{equation} \hat{m}_{ij} = N \times \hat{p}_{ij} = N \times \frac{x_{ij} + x_{ji}}{2N} = \frac{x_{ij} + x_{ji}}{2} \end{equation}$

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統計数理 問4 [2]

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