統計検定 1級過去問解答/解答例と解説
2015年11月29日 (日) 試験

統計数理問4 [5]

[2] の仮説 $H_0$ が成り立てば，[4] の $\lambda_{ij}$ に対して $\lambda_{ij} = \lambda_{ji}~(i, j = 2, \ldots, I; i \ne j)$ となることを示せ．
その逆が一般に成り立つかについて述べよ．

λ_{i j} = \log \frac{p_{i j} p_{11}}{p_{i 1} p_{1 j}}

$\begin{equation} \lambda_{ij} = \log\frac{p_{ij} p_{11}}{p_{i1} p_{1j}} \end{equation}$

λ_{j i} = \log \frac{p_{j i} p_{11}}{p_{j 1} p_{1 i}}

$\begin{equation} \lambda_{ji} = \log\frac{p_{ji} p_{11}}{p_{j1} p_{1i}} \end{equation}$

p_{i j} = p_{j i} (i \neq j)

$p_{ij} = p_{ji}~(i \ne j)$ のとき，

λ_{j i} = \log \frac{p_{i j} p_{11}}{p_{1 j} p_{i 1}} = λ_{i j}

$\begin{equation} \lambda_{ji} = \log\frac{p_{ij} p_{11}}{p_{1j} p_{i1}} = \lambda_{ij} \end{equation}$

よって，

p_{i j} = p_{j i} ⟹ λ_{i j} = λ_{j i}

$\begin{equation} p_{ij} = p_{ji}~~\Longrightarrow~~\lambda_{ij} = \lambda_{ji} \end{equation}$

一方，

λ_{i j} = λ_{j i} (i \neq j)

$\lambda_{ij} = \lambda_{ji}~(i \ne j)$ のとき，

\log \frac{p_{i j} p_{11}}{p_{i 1} p_{1 j}} = \log \frac{p_{j i} p_{11}}{p_{j 1} p_{1 i}}

$\begin{equation} \log\frac{p_{ij} p_{11}}{p_{i1} p_{1j}} = \log\frac{p_{ji} p_{11}}{p_{j1} p_{1i}} \end{equation}$

\frac{p_{i j}}{p_{i 1} p_{1 j}} = \frac{p_{j i}}{p_{j 1} p_{1 i}}

$\begin{equation} \frac{p_{ij}}{p_{i1} p_{1j}} = \frac{p_{ji}}{p_{j1} p_{1i}} \end{equation}$

ここで，

I = 3

$I = 3$ の場合を考えると，

i = 2, j = 3

$i = 2,~j = 3$ のとき，

λ_{23} = \frac{p_{23}}{p_{21} p_{13}} = \frac{p_{32}}{p_{31} p_{12}} = λ_{32}

$\begin{equation} \lambda_{23} = \frac{p_{23}}{p_{21} p_{13}} = \frac{p_{32}}{p_{31} p_{12}} = \lambda_{32} \end{equation}$

\begin{aligned} p_{23} = 0.01 \\ p_{21} = 0.01 \\ p_{13} = 0.01 \\ p_{32} = 0.02 \\ p_{31} = 0.01 \\ p_{12} = 0.02 \end{aligned}

$\begin{align} p_{23} = 0.01 \\ p_{21} = 0.01 \\ p_{13} = 0.01 \\ p_{32} = 0.02 \\ p_{31} = 0.01 \\ p_{12} = 0.02 \end{align}$

とすれば，

λ_{23} = λ_{32}

$\lambda_{23} = \lambda_{32}$ であるが，

p_{23} = p_{32}

$p_{23} = p_{32}$ は成り立たない．

よって，

λ_{i j} = λ_{j i} ⟹ p_{i j} = p_{j i}

$\begin{equation} \lambda_{ij} = \lambda_{ji}~~\Longrightarrow~~p_{ij} = p_{ji} \end{equation}$

は，一般に成り立たない．