統計検定 1級過去問解答/解答例と解説
2015年11月29日 (日) 試験

統計数理問3 [3]

設問の要約

$\hat{\beta}_1, \hat{\beta}_2$ の分散を $S_{11}, S_{22}, S_{12}, \sigma^2$ を用いて表わせ．
$r_{12} = 0$ の場合と $r_{12} \ne 0$ の場合を比較したとき， $\hat{\beta}_1, \hat{\beta}_2$ の分散はどのように変化するか．

解答例

$\hat{\bm{\beta}}$ の分散は，次の式で与えられる．

V [\hat{β}] = σ^{2} (X^{'} X)^{- 1}

$\begin{equation} V[\hat{\bm{\beta}}] = \sigma^2 (X'X)^{-1} \end{equation}$

[2] で求めた

X^{'} X

$X'X$ を代入すると，

\begin{aligned} V [\hat{β}] & = σ^{2} {(\begin{matrix} n & 0 & 0 \\ 0 & S_{11} & S_{12} \\ 0 & S_{12} & S_{22} \end{matrix})}^{- 1} \end{aligned}

$\begin{align} V[\hat{\bm{\beta}}] &= \sigma^2 \begin{pmatrix} n & 0 & 0 \\ 0 & S_{11} & S_{12} \\ 0 & S_{12} & S_{22} \end{pmatrix}^{-1} \end{align}$

V [{\hat{β}}_{1}]

$V[\hat{\beta}_1]$ は，分散共分散行列

V [\hat{β}]

$V[\hat{\bm{\beta}}]$ の第 2 行，第 2 列の要素であるから，

\begin{aligned} V [{\hat{β}}_{1}] & = \frac{σ^{2}}{| \begin{matrix} n & 0 & 0 \\ 0 & S_{11} & S_{12} \\ 0 & S_{12} & S_{22} \end{matrix} |} \cdot (- 1)^{2 + 2} | \begin{matrix} n & 0 \\ 0 & S_{22} \end{matrix} | \\ = \frac{σ^{2}}{n (S_{11} S_{22} - {S_{12}}^{2})} \cdot (n S_{22} - 0) \\ = \frac{σ^{2} S_{22}}{S_{11} S_{22} - {S_{12}}^{2}} \end{aligned}

$\begin{align} V[\hat{\beta}_1] &= \frac{\sigma^2}{\begin{vmatrix} n & 0 & 0 \\ 0 & S_{11} & S_{12} \\ 0 & S_{12} & S_{22} \end{vmatrix}} \cdot (-1)^{2+2} \begin{vmatrix} n & 0 \\ 0 & S_{22} \end{vmatrix} \\ &= \frac{\sigma^2}{n(S_{11}S_{22} - {S_{12}}^2)} \cdot (n S_{22} - 0) \\ &= \frac{\sigma^2 S_{22}}{S_{11}S_{22} - {S_{12}}^2} \end{align}$

V [{\hat{β}}_{2}]

$V[\hat{\beta}_2]$ は，分散共分散行列

V [\hat{β}]

$V[\hat{\bm{\beta}}]$ の第 3 行，第 3 列の要素であるから，

\begin{aligned} V [{\hat{β}}_{2}] & = \frac{σ^{2}}{| \begin{matrix} n & 0 & 0 \\ 0 & S_{11} & S_{12} \\ 0 & S_{12} & S_{22} \end{matrix} |} \cdot (- 1)^{3 + 3} | \begin{matrix} n & 0 \\ 0 & S_{11} \end{matrix} | \\ = \frac{σ^{2}}{n (S_{11} S_{22} - {S_{12}}^{2})} \cdot (n S_{11} - 0) \\ = \frac{σ^{2} S_{11}}{S_{11} S_{22} - {S_{12}}^{2}} \end{aligned}

$\begin{align} V[\hat{\beta}_2] &= \frac{\sigma^2}{\begin{vmatrix} n & 0 & 0 \\ 0 & S_{11} & S_{12} \\ 0 & S_{12} & S_{22} \end{vmatrix}} \cdot (-1)^{3+3} \begin{vmatrix} n & 0 \\ 0 & S_{11} \end{vmatrix} \\ &= \frac{\sigma^2}{n(S_{11}S_{22} - {S_{12}}^2)} \cdot (n S_{11} - 0) \\ &= \frac{\sigma^2 S_{11}}{S_{11}S_{22} - {S_{12}}^2} \end{align}$

$V[\hat{\beta}_1]$ と $V[\hat{\beta}_2]$ は，分母分子を $S_{11}S_{22}$ で割れば， $r_{12}$ を用いて次のように表すことができる．

V [{\hat{β}}_{1}] = \frac{σ^{2}}{S_{11}} \frac{1}{1 - {r_{12}}^{2}}

$\begin{equation} V[\hat{\beta}_1] = \frac{\sigma^2}{S_{11}}\frac{1}{1 - {r_{12}}^2} \end{equation}$

V [{\hat{β}}_{2}] = \frac{σ^{2}}{S_{22}} \frac{1}{1 - {r_{12}}^{2}}

$\begin{equation} V[\hat{\beta}_2] = \frac{\sigma^2}{S_{22}}\frac{1}{1 - {r_{12}}^2} \end{equation}$

r_{12} = 0

$r_{12} = 0$ のとき，

V [{\hat{β}}_{1}] = \frac{σ^{2}}{S_{11}}

$\begin{equation} V[\hat{\beta}_1] = \frac{\sigma^2}{S_{11}} \end{equation}$

V [{\hat{β}}_{2}] = \frac{σ^{2}}{S_{22}}

$\begin{equation} V[\hat{\beta}_2] = \frac{\sigma^2}{S_{22}} \end{equation}$

r_{12} \neq 0

$r_{12} \ne 0$ のときは，

| r_{12} |

$|r_{12}|$ が 1 に近づくほど，

r_{12} = 0

$r_{12} = 0$ のときの

V [{\hat{β}}_{1}]

$V[\hat{\beta}_1]$ と

V [{\hat{β}}_{2}]

$V[\hat{\beta}_2]$ の分散より大きくなる．

統計検定 1級 過去問 解答/解答例と解説 2015年11月29日 (日) 試験

統計数理 問3 [3]

設問の要約

解答例

統計検定 1級過去問解答/解答例と解説
2015年11月29日 (日) 試験

統計数理問3 [3]