統計検定 1級 過去問 解答/解答例と解説
2015年11月29日 (日) 試験

統計応用 問4 [6]

設問の要約
  • 次を示せ.

    E[cos(Θμ)]=c(κ)c(κ)

  • この式において角度の正弦および余弦についてのモーメント法を適用することによって得られる μκ の方程式と,対数尤度を κ に関して偏微分した式を 0 とおいて得られる方程式の関係について述べよ.

解答例

02πc(κ)exp[κcos(θμ)]dθ=1
の両辺を κ で微分すると,
ddκ02πc(κ)exp[κcos(θμ)]dθ=0
02πddκc(κ)exp[κcos(θμ)]dθ=0
02π{c(κ)exp[κcos(θμ)]+c(κ)exp[κcos(θμ)]cos(θμ)}dθ=0
02πc(κ)exp[κcos(θμ)]dθ+02πc(κ)exp[κcos(θμ)]cos(θμ)dθ=0
c(κ)c(κ)02πc(κ)exp[κcos(θμ)]dθ+02πcos(θμ)c(κ)exp[κcos(θμ)]dθ=0
c(κ)c(κ)+E[cos(Θμ)]=0
 E[cos(Θμ)]=c(κ)c(κ)

ところで,

E[cos(Θμ)]=E[cosΘcosμ+sinΘsinμ]=cosμE[cosΘ]+sinμE[sinΘ]
であるので,
cosμE[cosΘ]+sinμE[sinΘ]=c(κ)c(κ)
正弦および余弦についてのモーメント法を適用することにより,次の μ, κ の方程式を得る.
C¯cosμ+S¯sinμ=c(κ)c(κ)
一方,対数尤度
(μ,κ)=nlog[c(κ)]+κj=1ncos(θjμ)
κ で偏微分して,0 とおくと,
nc(κ)c(κ)+j=1ncos(θjμ)=0
nc(κ)c(κ)+Ccosμ+Ssinμ=0
c(κ)c(κ)+Cncosμ+Snsinμ=0
c(κ)c(κ)+C¯cosμ+S¯sinμ=0
C¯cosμ+S¯sinμ=c(κ)c(κ)
よって,モーメント法によって得られるμ, κ の方程式と, 対数尤度を κ で偏微分して 0 とおいて得られる方程式は一致する.