統計検定 1級過去問解答/解答例と解説
2015年11月29日 (日) 試験

統計応用問4 [5]

設問の要約

標本 $\theta_1, \ldots , \theta_n$ に基づく $\mu$ と $\kappa$ に関する尤度を書け．
対数尤度を $\mu$ に関して偏微分した式を 0 とおいて得られる方程式の解を求めよ．

解答例

尤度は，

\begin{aligned} L (μ, κ) & = \prod_{j = 1}^{n} c (κ) \exp [κ \cos (θ_{j} - μ)] \\ = {c (κ)}^{n} \exp [κ \sum_{j = 1}^{n} \cos (θ_{j} - μ)] \end{aligned}

$\begin{align} L(\mu, \kappa) &= \prod_{j=1}^{n}c(\kappa)\exp\left[\kappa \cos(\theta_j - \mu)\right] \\ &= \left\{c(\kappa)\right\}^{n}\exp\left[\kappa \sum_{j=1}^{n}\cos(\theta_j - \mu)\right] \end{align}$

対数尤度は，

\begin{aligned} ℓ (μ, κ) & = \log L (μ, κ) \\ = \log [{c (κ)}^{n} \exp [κ \sum_{j = 1}^{n} \cos (θ_{j} - μ)]] \\ = \log [{c (κ)}^{n}] + \log \exp [κ \sum_{j = 1}^{n} \cos (θ_{j} - μ)] \\ = n \log [c (κ)] + κ \sum_{j = 1}^{n} \cos (θ_{j} - μ) \end{aligned}

$\begin{align} \ell(\mu, \kappa) &= \log L(\mu, \kappa) \\ &= \log\left[\left\{c(\kappa)\right\}^{n}\exp\left[\kappa \sum_{j=1}^{n}\cos(\theta_j - \mu)\right]\right] \\ &= \log\left[\left\{c(\kappa)\right\}^n\right] + \log\exp\left[\kappa \sum_{j=1}^{n}\cos(\theta_j - \mu)\right] \\ &= n\,\log\left[c(\kappa)\right] + \kappa \sum_{j=1}^{n}\cos(\theta_j - \mu) \\ \end{align}$

μ

$\mu$ で偏微分して，0 とおくと，

κ \sum_{j = 1}^{n} \sin (θ_{j} - μ) = 0

$\begin{equation} \kappa \sum_{j=1}^{n}\sin(\theta_j - \mu) = 0 \end{equation}$

\begin{aligned} \sum_{j = 1}^{n} \sin (θ_{j} - μ) & = \sum_{j = 1}^{n} {\sin θ_{j} \cos μ - \cos θ_{j} \sin μ} \\ = \cos μ \sum_{j = 1}^{n} \sin θ_{j} - \sin μ \sum_{j = 1}^{n} \cos θ_{j} \\ = S \cos μ - C \sin μ \end{aligned}

$\begin{align} \sum_{j=1}^{n}\sin(\theta_j - \mu) &= \sum_{j=1}^{n}\left\{\sin\theta_j\cos\mu - \cos\theta_j\sin\mu\right\} \\ &= \cos\mu\sum_{j=1}^{n}\sin\theta_j - \sin\mu\sum_{j=1}^{n}\cos\theta_j \\ &= S\cos\mu- C\sin\mu \\ \end{align}$

よって，

κ > 0

$\kappa > 0$ であるので，

μ

$\mu$ の推定値

\hat{μ}

$\hat{\mu}$ は，

S \cos \hat{μ} - C \sin \hat{μ} = 0

$\begin{equation} S\cos\hat{\mu}- C\sin\hat{\mu} = 0 \end{equation}$

から求めることができる．これより，

\frac{\sin \hat{μ}}{\cos \hat{μ}} = \frac{S}{C}

$\begin{equation} \frac{\sin\hat{\mu}}{\cos\hat{\mu}} = \frac{S}{C} \end{equation}$

\tan \hat{μ} = \frac{S}{C}

$\begin{equation} \tan\hat{\mu} = \frac{S}{C} \end{equation}$

となるので，

μ

$\mu$ の最尤推定値

\hat{μ}

$\hat{\mu}$ は，ベクトル

(C, S)^{T}

$(C, S)^T$ の方向を表す角度

\bar{θ}

$\bar{\theta}$ となる．

統計検定 1級 過去問 解答/解答例と解説 2015年11月29日 (日) 試験

統計応用 問4 [5]

設問の要約

解答例

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