統計検定 1級 過去問 解答/解答例と解説
2015年11月29日 (日) 試験

統計応用 問1 [4]

設問の要約
  • P(k) は確率関数となることを示せ.

  • Y : この確率関数の分布に従う確率変数

解答例

18k(k+1)(k+2)(k+3)=ak(k+1)(k+2)b(k+1)(k+2)(k+3)
に部分分数分解できたとする.
18k(k+1)(k+2)(k+3)    =a(k+3)bkk(k+1)(k+2)(k+3)    =ak+3abkk(k+1)(k+2)(k+3)    =(ab)k+3ak(k+1)(k+2)(k+3)
分子に注目すると,
(ab)k+3a=18
この恒等式が成り立つには,
{ab=03a=18
これ解くと,
a=6, b=6
よって,
18k(k+1)(k+2)(k+3)=6k(k+1)(k+2)6(k+1)(k+2)(k+3)
これらを用いれば,
k=1P(k)=limnk=1n18k(k+1)(k+2)(k+3)=limnk=1n{6k(k+1)(k+2)6(k+1)(k+2)(k+3)}=limn{(66624)+(624660)+(6606120)    ++(6n(n+1)(n+2)6(n+1)(n+2)(n+3))}=limn{666(n+1)(n+2)(n+3)}=66=1
よって,P(k) は確率関数である.