統計検定 1級 過去問 解答/解答例と解説
2015年11月29日 (日) 試験

統計数理 問5 [1]

設問の要約
  • y¯s2y¯1,y¯2,s12,s22 で表せ.

解答例

y¯=1ni=1nyi=1n(i=1n1yi+i=n1+1nyi)=1n(n1y¯1+n2y¯2)

s12=1n11i=1n1(yiy¯1)2=1n11i=1n1(yiy¯y¯1+y¯)2=1n11i=1n1{(yiy¯)(y¯1y¯)}2=1n11i=1n1{(yiy¯)22(yiy¯)(y¯1y¯)+(y¯1y¯)2}=1n11{i=1n1(yiy¯)22i=1n1(yiy¯)(y¯1y¯)+i=1n1(y¯1y¯)2}=1n11{i=1n1(yiy¯)22i=1n1(yiy¯)(y¯1y¯)+n1(y¯1y¯)2}
ここで,
i=1n1(yiy¯)(y¯1y¯)=(y¯1y¯)i=1n1(yiy¯)=(y¯1y¯)(i=1n1yii=1n1y¯)=(y¯1y¯)(n1y¯1n1y¯)=n1(y¯1y¯)2
であるので,
s12=1n11{i=1n1(yiy¯)2n1(y¯1y¯)2}
i=1n1(yiy¯)2=(n11)s12+n1(y¯1y¯)2
同様にして,
i=n1+1n(yiy¯)2=(n21)s22+n2(y¯2y¯)2
これらを用いて,
s2=1n1i=1n(yiy¯)2=1n1{i=1n1(yiy¯)2+i=n1+1n(yiy¯)2}=1n1{(n11)s12+n1(y¯1y¯)2+(n21)s22+n2(y¯2y¯)2}
ここで,
n1(y¯1y¯)2+n2(y¯2y¯)2=n1(y¯122y¯1y¯+y¯2)+n2(y¯222y¯2y¯+y¯2)=n1y¯122n1y¯1y¯+n1y¯2+n2y¯222n2y¯2y¯+n2y¯2=n1y¯12+n2y¯222n1y¯1y¯2n2y¯2y¯+n1y¯2+n2y¯2=n1y¯12+n2y¯222y¯(n1y¯1+n2y¯2)+(n1+n2)y¯2=n1y¯12+n2y¯222y¯ny¯+ny¯2=n1y¯12+n2y¯22ny¯2=n1y¯12+n2y¯22n1n2(n1y¯1+n2y¯2)2=n1y¯12+n2y¯221n((n1y¯1)2+2(n1y¯1)(n2y¯2)+(n2y¯2)2)=n1y¯12+n2y¯22n12ny¯122n1n2ny¯1y¯2n22ny¯22=(n1n12n)y¯12+(n2n22n)y¯222n1n2ny¯1y¯2=nn1n12ny¯12+nn2n22ny¯222n1n2ny¯1y¯2=n1(nn1)ny¯12+n2(nn2)ny¯222n1n2ny¯1y¯2=n1n2ny¯12+n2n1ny¯222n1n2ny¯1y¯2=n1n2n(y¯12+y¯222y¯1y¯2)=n1n2n(y¯1y¯2)2
なので,
s2=1n1{(n11)s12+(n21)s22+n1n2n(y¯1y¯2)2}