統計検定 準1級 例題集 解答/解答例と解説

問題の要約

1. $X$ : 1日の死亡者数

   $X \sim Po(\lambda)$

   $P(X = 3)$ を求めよ．

2. $E[X^2]$ を $\lambda$ で表せ．

3. 期待度数 (データの平均値をもとにパラメータを推定) :

   死亡者数(人)	0	1	2	3	4	5	6以上
   期待度数(日)	67.7	135.3	135.3	90.2	45.1	18.0	8.3

   適合度検定の判断として適切なものを選べ．

   ※選択肢は省略

解答

1. 答 : ⑤

   パラメータ $\lambda$ のポアソン分布は，

   $$\begin{equation} P(X = x) = \frac{\lambda^x}{x!}e^{-\lambda} \end{equation}$$
   であるから，$x = 3$ とすれば，
   $$\begin{equation} P(X = 3) = \frac{\lambda^3}{3!}e^{-\lambda} \end{equation}$$

2. 答 : ④

   $$\begin{align} V[X] &= E[(X - E[X])^2] \\ &= E[X^2 - 2X\,E[X] + (E[X])^2] \\ &= E[X^2] - E[2X\,E[X]] + E[(E[X])^2] \\ &= E[X^2] - E[2X]\,E[E[X]] + E[(E[X])^2 \\ &= E[X^2] - 2(E[X])^2 + E[(E[X])^2 \\ &= E[X^2] - (E[X])^2 \end{align}$$
   よって，
   $$\begin{equation} E[X^2] = V[X] + (E[X])^2 \end{equation}$$
   パラメータ $\lambda$ のポアソン分布は，
   $$\begin{align} E[X] &= \lambda \\ V[X] &= \lambda \end{align}$$
   であるので，
   $$\begin{equation} E[X^2] = \lambda + \lambda^2 \end{equation}$$

3. 答 : ⑤

   死亡者数は7区分となっているが，データからパラメータ $\lambda$ を推定しているので， 検定統計量の自由度は $7 - 1 = 6$ ではなく，$7 - 2 = 5$ である．

   自由度がわかれば，$\chi^2$ 値までもとめなくても，回答は⑤であるとわかる．