統計検定準1級例題集解答/解答例と解説

論述問題問1 [3]

設問の要約

$K = 20$
すべての種類のシールを集めるためには，平均何個の菓子を買えばよいか．

解答例

手に入れたシールが $i - 1$ 種類から $i$ 種類になるまでの菓子の(これまでの)購入数を $T_i$ とする． 1回の購入で手に入れたシースの数が必ず $0$ 個から $i$ 個になるので， $T_1 = 1$ である．また， $T_{i} - T_{i-1}$ は，次に新たなカードを手に入れるまでの購入回数であり，ファーストサクセス分布に従う．

T_{i} - T_{i - 1} \sim F S (\frac{N - i + 1}{N})

$\begin{equation} T_{i} - T_{i-1} \sim FS\left(\frac{N-i+1}{N}\right) \end{equation}$

E [T_{i} - T_{i - 1}] = \frac{N}{N - i + 1}

$\begin{equation} E[T_{i} - T_{i-1}] = \frac{N}{N-i+1} \end{equation}$

\begin{aligned} E [X] & = E [T_{N}] \\ = E [(T_{N} - T_{N - 1}) + (T_{N - 1} - T_{N - 2}) + \dots + (T_{2} - T_{1}) + T_{1}] \\ = E [T_{N} - T_{N - 1}] + E [T_{N - 1} - T_{N - 2}] + \dots + E [T_{2} - T_{1}] + E [T_{1}] \\ = N + \frac{N}{2} + \dots + \frac{N}{N - 1} + 1 \\ = N + \frac{N}{2} + \dots + \frac{N}{N - 1} + \frac{N}{N} \\ = N (1 + \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{N - 1} + \frac{1}{N}) \end{aligned}

$\begin{align} E[X] &= E[T_N] \\ &= E[(T_{N} - T_{N-1}) + (T_{N-1} - T_{N-2}) + \cdots + (T_{2} - T_{1}) + T_{1}] \\ &= E[T_{N} - T_{N-1}] + E[T_{N-1} - T_{N-2}] + \cdots + E[T_{2} - T_{1}] + E[T_{1}] \\ &= N + \frac{N}{2} + \cdots + \frac{N}{N-1} + 1 \\ &= N + \frac{N}{2} + \cdots + \frac{N}{N-1} + \frac{N}{N} \\ &= N\left(1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{N-1} + \frac{1}{N} \right) \end{align}$

ここで， $N = 20$ とすると，

\begin{aligned} E [X] & = 20 (1 + \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{20}) \\ \approx 20 \times (\log 20 + 0.57721 + \frac{1}{2 \times 20}) \\ \approx 20 \times 3.597942 \\ \approx 71.9588 \\ \approx 72 \end{aligned}

$\begin{align} E[X] &= 20\left(1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{20}\right) \\ &\approx 20 \times \left(\log 20 + 0.57721 + \frac{1}{2 \times 20}\right) \\ &\approx 20 \times 3.597942 \\ &\approx 71.9588 \\ &\approx 72 \end{align}$

補足1: $\ds \sum_{k=1}^n\frac{1}{k}$ の近似

\begin{equation} \sum_{k=1}^n\frac{1}{k} = \log n + \gamma + \frac{1}{2n} \end{equaiton} $\gamma = 0.57721$~~(オイラーの定数)

統計検定 準1級 例題集 解答/解答例と解説

論述問題 問1 [3]

設問の要約

解答例

補足1: ∑k=1n1k\ds \sum_{k=1}^n\frac{1}{k} の近似

統計検定準1級例題集解答/解答例と解説

論述問題問1 [3]

補足1: $\ds \sum_{k=1}^n\frac{1}{k}$ の近似