統計検定準1級例題集解答/解答例と解説

選択問題及び部分記述問題問12

問題の要約

クラスの人数 : 20人
$x$ : 勉強時間
$y$ : テストの成績
相関係数 : 0.50
無作為に 10人ずつに分割して，一方で $x$ の平均を，もう一方で $y$ の平均を計算する．
無作為分割を反復した際の $x$ の平均と $y$ の平均の相関係数を求めよ．

解答

答 : ①

20 人のクラスから無作為に 10 人ずつの A と B のグループに 2 分割して，それぞれのグループごとに $x,~y$ の平均を求めることを何回か行ったとする．

全体の $x,~y$ の平均を $\bar{X},~\bar{Y}$ とする．

ある試行で求めたグループ A の $x,~y$ の平均値を $\bar{X}_{A},~\bar{Y}_{A}$ という確率変数で表し，グループ B の場合では， $\bar{X}_{B},~\bar{Y}_{B}$ と表すとする．

求める $x,~y$ の平均値の相関係数を $\rho_{\bar{X}_{A}, \bar{Y}_{B}}$ とし，次式より求めることができる．

ρ_{{\bar{X}}_{A}, {\bar{Y}}_{B}} = \frac{C o v [{\bar{X}}_{A}, {\bar{Y}}_{B}]}{\sqrt{V [{\bar{X}}_{A}]} \sqrt{V [{\bar{Y}}_{B}]}}

$\begin{equation} \rho_{\bar{X}_{A}, \bar{Y}_{B}} = \frac{Cov[\bar{X}_{A}, \bar{Y}_{B}]}{\sqrt{V[\bar{X}_{A}]}\sqrt{V[\bar{Y}_{B}]}} \end{equation}$

20 人のクラスを 10 人ずつの 2 グループに分割することから，次の関係式が成り立つ．

20 \bar{Y} = 10 {\bar{Y}}_{A} + 10 {\bar{Y}}_{B}

$\begin{equation} 20\bar{Y} = 10\bar{Y}_{A} + 10\bar{Y}_{B} \end{equation}$

∴ {\bar{Y}}_{B} - \bar{Y} = - {\bar{Y}}_{A} + \bar{Y}

$\begin{equation} \therefore~\bar{Y}_{B} - \bar{Y} = - \bar{Y}_{A} + \bar{Y} \end{equation}$

これを用いると，

\begin{aligned} V [{\bar{Y}}_{B}] & = E [({\bar{Y}}_{B} - \bar{Y})^{2}] \\ = E [(- {\bar{Y}}_{A} + \bar{Y})^{2}] \\ = E [({\bar{Y}}_{A} - \bar{Y})^{2}] \\ = V [{\bar{Y}}_{A}] \end{aligned}

$\begin{align} V[{\bar{Y}_{B}}] &= E[(\bar{Y}_{B} - \bar{Y})^2] \\ &= E[(- \bar{Y}_{A} + \bar{Y})^2] \\ &= E[(\bar{Y}_{A} - \bar{Y})^2] \\ &= V[{\bar{Y}_{A}}] \end{align}$

\begin{aligned} C o v [{\bar{X}}_{A}, {\bar{Y}}_{B}] & = E [({\bar{X}}_{A} - \bar{X}) ({\bar{Y}}_{B} - \bar{Y})] \\ = E [({\bar{X}}_{A} - \bar{X}) (- {\bar{Y}}_{A} + \bar{Y})] \\ = - E [({\bar{X}}_{A} - \bar{X}) ({\bar{Y}}_{A} - \bar{Y})] \\ = - C o v [{\bar{X}}_{A}, {\bar{Y}}_{A}] \end{aligned}

$\begin{align} Cov[\bar{X}_{A}, \bar{Y}_{B}] &= E[(\bar{X}_{A} - \bar{X})(\bar{Y}_{B} - \bar{Y})] \\ &= E[(\bar{X}_{A} - \bar{X})(- \bar{Y}_{A} + \bar{Y})] \\ &= - E[(\bar{X}_{A} - \bar{X})(\bar{Y}_{A} - \bar{Y})] \\ &= - Cov[\bar{X}_{A}, \bar{Y}_{A}] \end{align}$

よって，

\begin{aligned} ρ_{{\bar{X}}_{A}, {\bar{Y}}_{B}} & = - \frac{C o v [{\bar{X}}_{A}, {\bar{Y}}_{A}]}{\sqrt{V [{\bar{X}}_{A}]} \sqrt{V [{\bar{Y}}_{A}]}} \\ = - ρ_{{\bar{X}}_{A}, {\bar{Y}}_{A}} \\ = - ρ_{x, y} \\ = - 0.50 \end{aligned}

$\begin{align} \rho_{\bar{X}_{A}, \bar{Y}_{B}} &= - \frac{Cov[\bar{X}_{A}, \bar{Y}_{A}]}{\sqrt{V[\bar{X}_{A}]}\sqrt{V[\bar{Y}_{A}]}} \\ &= -\rho_{\bar{X}_{A}, \bar{Y}_{A}} \\ &= - \rho_{x, y} \\ &= -0.50 \end{align}$

統計検定 準1級 例題集 解答/解答例と解説

選択問題及び部分記述問題 問12

問題の要約

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