統計検定 準1級 例題集 解答/解答例と解説

問題の要約

• 政治意識月例調査に回答した 1008人の内閣支持率は 62%

1. 母集団の内閣支持率の 95 %信頼区間を求めよ．

2. 信頼区間の幅を狭くするための適切な記述を選べ．

   1. 回答者数を増やす．

   2. 回答者の若者の割合を増やす．

   3. 信頼係数を大きくする．

3. 真の内閣支持率 : 60％

   内閣支持率の推定値が 62%を超える確率を求めよ．

4. 内閣支持率の 95%信頼区間の幅が 4%以内となるための標本サイズは何人以上必要か．

解答

1. 答 : ②

   $X \sim Bin(n, p)$ のとき，$\mathrm{E}[X] = np,~\mathrm{Var}[X] = np(1-p)$ である． 中心極限定理より，$n$ が十分大きいとき，$\frac{X}{n}$ は，

   $$\begin{equation} \mathrm{E}\left[\frac{X}{n}\right] = \frac{1}{n}\,\mathrm{E}[X] = \frac{1}{n}\,np = p \end{equation}$$
   $$\begin{equation} \mathrm{Var}\left[\frac{X}{n}\right] = \frac{1}{n^2}\,\mathrm{Var}[X] = \frac{1}{n^2}\,np(1-p) = \frac{p(1-p)}{n} \end{equation}$$
   の正規分布で近似できる．

   支持率 $p$ の 95% 信頼区間は，回答者数を $n$とすると，

   $$\begin{equation} p \pm z_{0.025}\,\sqrt{\frac{p(1 - p)}{n}} \end{equation}$$
   よって，$p = 0.62$ と $z_{0.025} = 1.96$ を代入して，
   $$\begin{equation} 0.62 \pm 1.96\,\sqrt{\frac{0.62 \times 0.38}{1008}} \end{equation}$$

2. 答 : ① (I のみが正しい)

   「I. 回答者数を増やす」 $\Longrightarrow$ 精度が上がる $\Longrightarrow$ ○

   「II. 回答者の若者の割合を増やす」 $\Longrightarrow$ ×

   「III. 信頼係数を大きくする」 $\Longrightarrow$ 許容範囲が広くなる $\Longrightarrow$ ×

3. 答 : ③

   $$\begin{equation} z = \frac{0.62 - 0.6}{\displaystyle \sqrt{\frac{0.6(1 - 0.6)}{1008}}} \approx \frac{0.02}{0.01543} \approx 1.296 \end{equation}$$
   標準正規分布表より，$1.296 \approx 1.3$ より大きくなる確率は，$0.0968 \approx 0.1$である．

4. 答 : ④

   信頼区間が $0.04$ 以下となるための標本サイズ $n$ は，次の条件式を満たす．

   $$\begin{equation} z_{0.025}\,\sqrt{\frac{p(1 - p)}{n}} \le \frac{0.04}{2} \end{equation}$$
   ここで，$p(1 - p)$ は $p = 0.5$ で最大になることから，
   $$\begin{equation} 1.96\,\sqrt{\frac{0.5(1 - 0.5)}{n}} \le \frac{0.04}{2} \end{equation}$$
   よって，
   $$\begin{equation} n \ge 2400 \end{equation}$$