統計検定準1級例題集解答/解答例と解説

選択問題及び部分記述問題問9

問題の要約

$W \sim \chi^2(m)$
$m$ が大きいとき， $W$ 及び $\sqrt{W}$ の分布は正規分布で近似することができる．
それぞれの正規分布を求めよ．

解答

答 : ⑤

自由度 $m$ の $\chi^2$ 分布では，平均 $m$ ，分散 $2m$ である． $\chi^2$ 分布は，自由度 $m$ が大きくなると正規分布に近づくことが知られている．よって，

w \overset{d}{\to} N (m, 2 m)

$\begin{equation} w~\stackrel{d}{\to}~N(m, 2m) \end{equation}$

$\sqrt{W}$ の分布については，デルタ法を用いる．

g (x) = \sqrt{x}

$\begin{equation} g(x) = \sqrt{x} \end{equation}$

とおくと，

g^{'} (x)^{2} = {(\frac{1}{2 \sqrt{x}})}^{2} = \frac{1}{4 x}

$\begin{equation} g'(x)^2 = \left(\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)^2 = \frac{1}{4x} \end{equation}$

自由度

m

$m$ が十分大のとき，

w

$w$ は漸近正規性

w \overset{d}{\to} N (m, 2 m)

$\begin{equation} w~\stackrel{d}{\to}~N(m, 2m) \end{equation}$

を持つ．また，

E [\frac{W}{m}] = \frac{1}{m} E [W] = \frac{1}{m} m = 1

$\begin{equation} E\left[\frac{W}{m}\right] = \frac{1}{m}\,\mathrm{E}[W] = \frac{1}{m}\,m = 1 \end{equation}$

V [\frac{W}{m}] = \frac{1}{m^{2}} V a r [W] = \frac{1}{m^{2}} 2 m = \frac{2}{m}

$\begin{equation} V\left[\frac{W}{m}\right] = \frac{1}{m^2}\,\mathrm{Var}[W] = \frac{1}{m^2}\,2m = \frac{2}{m} \end{equation}$

であり，

\frac{W}{m} \overset{d}{\to} N (1, \frac{2}{m})

$\begin{equation} \frac{W}{m}~\stackrel{d}{\to}~N\left(1, \frac{2}{m}\right) \end{equation}$

自由度

m

$m$ が十分大のとき，分散

\frac{2}{m}

$\dfrac{2}{m}$ は小さくなる．

デルタ法より， $g\left(\dfrac{W}{m}\right) = \sqrt{\dfrac{W}{m}}$ は次のような漸近正規性を持つ．

g (\frac{W}{m}) \overset{d}{\to} N (g (1), \frac{2}{m} g^{'} (1)^{2})

$\begin{equation} g\left(\frac{W}{m}\right)~\stackrel{d}{\to}~N\left(g(1),~\frac{2}{m}\,g'(1)^2\right) \end{equation}$

⟹ \sqrt{\frac{W}{m}} \overset{d}{\to} N (1, \frac{2}{m} \cdot \frac{1}{4})

$\begin{equation} \Longrightarrow~\sqrt{\frac{W}{m}}~\stackrel{d}{\to}~N\left(1,~\frac{2}{m}\cdot\frac{1}{4}\right) \end{equation}$

⟹ \sqrt{\frac{W}{m}} \overset{d}{\to} N (1, \frac{1}{2 m})

$\begin{equation} \Longrightarrow~\sqrt{\frac{W}{m}}~\stackrel{d}{\to}~N\left(1,~\frac{1}{2m}\right) \end{equation}$

よって，

\sqrt{m} \sqrt{\frac{W}{m}} \overset{d}{\to} N (\sqrt{m} \cdot 1, {(\sqrt{m})}^{2} \cdot \frac{1}{2 m})

$\begin{equation} \sqrt{m}\sqrt{\frac{W}{m}}~\stackrel{d}{\to}~N\left(\sqrt{m}\cdot 1,~~\left(\sqrt{m}\right)^2\cdot\frac{1}{2m}\right) \end{equation}$

⟹ \sqrt{W} \overset{d}{\to} N (\sqrt{m}, \frac{1}{2})

$\begin{equation} \Longrightarrow~\sqrt{W}~\stackrel{d}{\to}~N\left(\sqrt{m},~\frac{1}{2}\right) \end{equation}$

補足1: デルタ法

確率変数 $X$ の分散 $\sigma^2$ が小さく，近似的に，

X \sim N (μ, σ^{2})

$\begin{equation} X~\sim~N(\mu, \sigma^2) \end{equation}$

のとき，

f (X) \overset{d}{\to} N (f (μ), f^{'} (μ)^{2} σ^{2})

$\begin{equation} f(X)~\stackrel{d}{\to}~N(f(\mu), f'(\mu)^2\,\sigma^2) \end{equation}$

で近似できる．

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選択問題及び部分記述問題 問9

問題の要約

解答

補足1: デルタ法

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選択問題及び部分記述問題問9