統計検定準1級過去問解答/解答例と解説
2016年06月19日 (日) 試験

選択問題及び部分記述問題問13

問題の要約

次の図は，平成25年のM県における35市町村別大豆の作付面積 (ha) と収穫量 (t)

※図は省略

作付面積を I，II，III，IV に層別

層	作付面積 (ha)	層の大きさ	層内平均 (t)	層内標準偏差 (t)
I	75未満	20	16	17
II	75以上～ 250未満	8	165	69
III	250以上～ 600未満	5	422	182
IV	600以上	2	974	24
母集団		35	163	258

資料: 農林水産省「作物統計状況調査」平成25年

平成28年は，8市町村の大豆収穫量から全体の収穫量を推定する．

各層から独立に標本を非復元無作為抽出．

次の式で母集団総計 $Y$ を推定する．

\hat{Y} = \sum_{h = 1}^{4} \frac{N_{h}}{n_{h}} \sum_{i = 1}^{n_{h}} y_{h i}

$\begin{equation} \hat{Y} = \sum_{h=1}^{4}\frac{N_h}{n_h}\sum_{i=1}^{n_h}y_{hi} \end{equation}$

$h$ : 層 I，II，III，IV に対し，1，2，3，4 を対応

$N_h$ : 層 $h$ の大きさ

$n_h$ : 層 $h$ における標本の大きさ

$y_{hi}$ : 層 $h$ における $i$ 番目の標本の大豆収穫量

次の 5通りの標本の大きさの配分を考える．

配分方法	$n_1$	$n_2$	$n_3$	$n_4$
A	2	2	2	2
B	1	2	4	1
C	1	4	1	2
D	4	2	1	1
E	4	1	1	2

配分方法A のとき， $\ds\frac{\hat{Y}}{35}$ の期待値を求めよ．
層内標準偏差は平成25年と同じであると仮定

5通りの配分方法の中で，推定値 $\hat{Y}$ の分散が最小のものはどれか．

収穫量 ( $y$ ) を作付面積 ( $x$ ) により予測

モデル1:
$y = β_{0} + β_{1} x + ϵ$
$\begin{equation} y = \beta_0 + \beta_1 x + \epsilon \end{equation}$

モデル2:
$y = β_{0} + β_{1} x + β_{2} z + ϵ$
$\begin{equation} y = \beta_0 + \beta_1 x + \beta_2 z + \epsilon \end{equation}$

モデル3:
$y = β_{0} + β_{1} x + β_{2} S_{2} + β_{3} S_{3} + ϵ$
$\begin{equation} y = \beta_0 + \beta_1 x + \beta_2 S_2 + \beta_3 S_3 + \epsilon \end{equation}$

$z$ : 層の番号 (z = 1, \ldots, 4)

$S_2$ : 層II のとき 1，そうでないとき 0

$S_3$ : 層III または層IV のとき 1，そうでないとき 0

$\epsilon \sim N(0, \sigma^2)$ : 誤差項

※出力結果は省略
1. 適切でないものを選べ．
  
  ※選択肢は省略
2. モデル3 において，作付面積が 500ha のとき，収穫量の予測値を求めよ．

解答

(1) 答 : ②

層 I，II，III，IV の層内平均を $\mu_1,~\mu_2,~\mu_3,~\mu_4$ と書くとする．また， $N = N_1 + N_2 + N_3 + N_4~(= 35)$ とおく．
$\begin{aligned} E [\frac{\hat{Y}}{N}] & = \frac{1}{N} E [\hat{Y}] \\ = \frac{1}{N} E [\sum_{h = 1}^{4} \frac{N_{h}}{n_{h}} \sum_{i = 1}^{n_{h}} y_{h i}] \\ = \frac{1}{N} E [\frac{N_{1}}{n_{1}} \sum_{i = 1}^{n_{1}} y_{1 i} + \frac{N_{2}}{n_{2}} \sum_{i = 1}^{n_{2}} y_{2 i} + \frac{N_{3}}{n_{3}} \sum_{i = 1}^{n_{3}} y_{3 i} + \frac{N_{4}}{n_{4}} \sum_{i = 1}^{n_{4}} y_{4 i}] \\ = \frac{1}{N} {\frac{N_{1}}{n_{1}} \sum_{i = 1}^{n_{1}} E [y_{1 i}] + \frac{N_{2}}{n_{2}} \sum_{i = 1}^{n_{2}} E [y_{2 i}] + \frac{N_{3}}{n_{3}} \sum_{i = 1}^{n_{3}} E [y_{3 i}] + \frac{N_{4}}{n_{4}} \sum_{i = 1}^{n_{4}} E [y_{4 i}]} \\ = \frac{1}{N} {\frac{N_{1}}{n_{1}} \sum_{i = 1}^{n_{1}} μ_{1} + \frac{N_{2}}{n_{2}} \sum_{i = 1}^{n_{2}} μ_{2} + \frac{N_{3}}{n_{3}} \sum_{i = 1}^{n_{3}} μ_{3} + \frac{N_{4}}{n_{4}} \sum_{i = 1}^{n_{4}} μ_{4}} \\ = \frac{1}{N} {\frac{N_{1}}{n_{1}} \cdot n_{1} μ_{1} + \frac{N_{2}}{n_{2}} \cdot n_{2} μ_{2} + \frac{N_{3}}{n_{3}} \cdot n_{3} μ_{3} + \frac{N_{4}}{n_{4}} \cdot n_{4} μ_{4}} \\ = \frac{1}{N} {N_{1} μ_{1} + N_{2} μ_{2} + N_{3} μ_{3} + N_{4} μ_{4}} \end{aligned}$
$\begin{align} E\left[\frac{\hat{Y}}{N}\right] &= \frac{1}{N}E\left[\hat{Y}\right] \\ &= \frac{1}{N}E\left[\sum_{h=1}^{4}\frac{N_h}{n_h}\sum_{i=1}^{n_h}y_{hi}\right] \\ &= \frac{1}{N}E\left[\frac{N_1}{n_1}\sum_{i=1}^{n_1}y_{1i} + \frac{N_2}{n_2}\sum_{i=1}^{n_2}y_{2i} + \frac{N_3}{n_3}\sum_{i=1}^{n_3}y_{3i} + \frac{N_4}{n_4}\sum_{i=1}^{n_4}y_{4i}\right] \\ &= \frac{1}{N}\left\{\frac{N_1}{n_1}\sum_{i=1}^{n_1}E[y_{1i}] + \frac{N_2}{n_2}\sum_{i=1}^{n_2}E[y_{2i}] + \frac{N_3}{n_3}\sum_{i=1}^{n_3}E[y_{3i}] + \frac{N_4}{n_4}\sum_{i=1}^{n_4}E[y_{4i}]\right\} \\ &= \frac{1}{N}\left\{\frac{N_1}{n_1}\sum_{i=1}^{n_1}\mu_1 + \frac{N_2}{n_2}\sum_{i=1}^{n_2}\mu_2 + \frac{N_3}{n_3}\sum_{i=1}^{n_3}\mu_3 + \frac{N_4}{n_4}\sum_{i=1}^{n_4}\mu_4\right\} \\ &= \frac{1}{N}\left\{\frac{N_1}{n_1}\cdot n_1\mu_1 + \frac{N_2}{n_2}\cdot n_2\mu_2 + \frac{N_3}{n_3}\cdot n_3\mu_3 + \frac{N_4}{n_4}\cdot n_4\mu_4\right\} \\ &= \frac{1}{N}\left\{N_1\mu_1 + N_2\mu_2 + N_3\mu_3 + N_4\mu_4\right\} \\ \end{align}$
これは，母集団の収穫量の平均を示している．よって，
$E [\frac{\hat{Y}}{35}] = 163$
$\begin{equation} E\left[\frac{\hat{Y}}{35}\right] = 163 \end{equation}$

(2) 答 : ②

層 I，II，III，IV の層内標準偏差を $\sigma_1,~\sigma_2,~\sigma_3,~\sigma_4$ と書くとする．
$\begin{aligned} V [\hat{Y}] & = V [\sum_{h = 1}^{4} \frac{N_{h}}{n_{h}} \sum_{i = 1}^{n_{h}} y_{h i}] \\ = V [\frac{N_{1}}{n_{1}} \sum_{i = 1}^{n_{1}} y_{1 i} + \frac{N_{2}}{n_{2}} \sum_{i = 1}^{n_{2}} y_{2 i} + \frac{N_{3}}{n_{3}} \sum_{i = 1}^{n_{3}} y_{3 i} + \frac{N_{4}}{n_{4}} \sum_{i = 1}^{n_{4}} y_{4 i}] \\ = \frac{{N_{1}}^{2}}{{n_{1}}^{2}} \sum_{i = 1}^{n_{1}} V [y_{1 i}] + \frac{{N_{2}}^{2}}{{n_{2}}^{2}} \sum_{i = 1}^{n_{2}} V [y_{2 i}] + \frac{{N_{3}}^{2}}{{n_{3}}^{2}} \sum_{i = 1}^{n_{3}} V [y_{3 i}] + \frac{{N_{4}}^{2}}{{n_{4}}^{2}} \sum_{i = 1}^{n_{4}} V [y_{4 i}] \\ = \frac{{N_{1}}^{2}}{{n_{1}}^{2}} \sum_{i = 1}^{n_{1}} {σ_{1}}^{2} + \frac{{N_{2}}^{2}}{{n_{2}}^{2}} \sum_{i = 1}^{n_{2}} {σ_{2}}^{2} + \frac{{N_{3}}^{2}}{{n_{3}}^{2}} \sum_{i = 1}^{n_{3}} {σ_{3}}^{2} + \frac{{N_{4}}^{2}}{{n_{4}}^{2}} \sum_{i = 1}^{n_{4}} {σ_{4}}^{2} \\ = \frac{{N_{1}}^{2}}{{n_{1}}^{2}} n_{1} {σ_{1}}^{2} + \frac{{N_{2}}^{2}}{{n_{2}}^{2}} n_{2} {σ_{2}}^{2} + \frac{{N_{3}}^{2}}{{n_{3}}^{2}} n_{3} {σ_{3}}^{2} + \frac{{N_{4}}^{2}}{{n_{4}}^{2}} n_{4} {σ_{4}}^{2} \\ = \frac{{N_{1}}^{2}}{n_{1}} {σ_{1}}^{2} + \frac{{N_{2}}^{2}}{n_{2}} {σ_{2}}^{2} + \frac{{N_{3}}^{2}}{n_{3}} {σ_{3}}^{2} + \frac{{N_{4}}^{2}}{n_{4}} {σ_{4}}^{2} \end{aligned}$
$\begin{align} V[\hat{Y}] &= V\left[\sum_{h=1}^{4}\frac{N_h}{n_h}\sum_{i=1}^{n_h}y_{hi}\right] \\ &= V\left[\frac{N_1}{n_1}\sum_{i=1}^{n_1}y_{1i} + \frac{N_2}{n_2}\sum_{i=1}^{n_2}y_{2i} + \frac{N_3}{n_3}\sum_{i=1}^{n_3}y_{3i} + \frac{N_4}{n_4}\sum_{i=1}^{n_4}y_{4i}\right] \\ &= \frac{{N_1}^2}{{n_1}^2}\sum_{i=1}^{n_1}V[y_{1i}] + \frac{{N_2}^2}{{n_2}^2}\sum_{i=1}^{n_2}V[y_{2i}] + \frac{{N_3}^2}{{n_3}^2}\sum_{i=1}^{n_3}V[y_{3i}] + \frac{{N_4}^2}{{n_4}^2}\sum_{i=1}^{n_4}V[y_{4i}] \\ &= \frac{{N_1}^2}{{n_1}^2}\sum_{i=1}^{n_1}{\sigma_1}^2 + \frac{{N_2}^2}{{n_2}^2}\sum_{i=1}^{n_2}{\sigma_2}^2 + \frac{{N_3}^2}{{n_3}^2}\sum_{i=1}^{n_3}{\sigma_3}^2 + \frac{{N_4}^2}{{n_4}^2}\sum_{i=1}^{n_4}{\sigma_4}^2 \\ &= \frac{{N_1}^2}{{n_1}^2}n_1{\sigma_1}^2 + \frac{{N_2}^2}{{n_2}^2}n_2{\sigma_2}^2 + \frac{{N_3}^2}{{n_3}^2}n_3{\sigma_3}^2 + \frac{{N_4}^2}{{n_4}^2}n_4{\sigma_4}^2 \\ &= \frac{{N_1}^2}{n_1}{\sigma_1}^2 + \frac{{N_2}^2}{n_2}{\sigma_2}^2 + \frac{{N_3}^2}{n_3}{\sigma_3}^2 + \frac{{N_4}^2}{n_4}{\sigma_4}^2 \\ \end{align}$
実際に値を代入すると，
$V [\hat{Y}] = \frac{20^{2}}{n_{1}} 17^{2} + \frac{8^{2}}{n_{2}} 69^{2} + \frac{5^{2}}{n_{3}} 182^{2} + \frac{2^{2}}{n_{4}} 24^{2}$
$\begin{equation} V[\hat{Y}] = \frac{{20}^2}{n_1}{17}^2 + \frac{{8}^2}{n_2}{69}^2 + \frac{{5}^2}{n_3}{182}^2 + \frac{{2}^2}{n_4}{24}^2 \\ \end{equation}$
この分散を小さくするには，層内標準偏差の大きな層に対し，標本が大きくなるようにすればよい．よって，配分方法 A ～ E の中では，B の場合が分散が最も小さくなる．
(1) 答 : ③

① : 正しい．モデル1 は， $y = 6.21504 + 1.05798 x$ である．

② : 正しい．層の P値は 0.261 と高いので，この変数は除外候補として考えてもよい．

③ : 誤り．モデル2 もモデル 3も回帰係数の傾きはどの層でも同じである．

④ : 正しい．モデル3 において，2つのダミー変数を 0 とおけば，層 I に対する予測式となる．

⑤ : 正しい．自由度調整済み決定係数はモデル3 が最小である．しかし，他のモデルを大差ないので変数の少ないモデルを選択してもよい．

(2) 答 : ⑤

作付面積は 500ha であるので， $S_2 = 0,~S_3 = 1$ である．よって，

$\begin{aligned} y & = - 2.87655 + 1.02862 \times 500 + 0 + 23.16200 \\ = 534.59545 \\ \approx 535 \end{aligned}$
$\begin{align} y &= -2.87655 + 1.02862 \times 500 + 0 + 23.16200 \\ &= 534.59545 \\ &\approx 535 \end{align}$

統計検定 準1級 過去問 解答/解答例と解説 2016年06月19日 (日) 試験

選択問題及び部分記述問題 問13

問題の要約

解答

統計検定準1級過去問解答/解答例と解説
2016年06月19日 (日) 試験

選択問題及び部分記述問題問13