統計検定 準1級 過去問 解答/解答例と解説
2016年06月19日 (日) 試験

問題の要約

• $Y_t$ : 21期間の売上げ (単位: 千円)

• $X_t$ : 店舗のWebサイトのアクセス数 (単位: 千件)

• $t = 1, 2, \ldots, 21$

• 最小二乗推定

  $$\begin{equation} Y_t = \underbrace{1976.2}_{(41.267)} + \underbrace{3.510}_{(0.857)}X_t \end{equation}$$
  $$\begin{equation} R^2 = 0.0372 \end{equation}$$
  $$\begin{equation} DW = 2.98 \end{equation}$$
  () : $t$値

  $R^2$ : 決定係数

  $DW$ : ダービン・ワトソン統計量

1. 自由度調整済み決定係数を求めよ．

2. 1次の自己相関係数の推定値 $\hat{\rho}$ を求めよ．

   残差の図はどれか．

   ※図は省略

解答

1. 答 : ①

   $S_{yy}$ を全平方和 (自由度 $\phi_{yy}$)，$S_R$ を回帰平方和 (自由度 $\phi_R$)，$S_e$ を残差平方和 (自由度 $\phi_e$) とおく．

   このとき，決定係数は，

   $$\begin{equation} R^2 = \frac{S_{R}}{S_{yy}} \end{equation}$$
   である．
   $$\begin{equation} S_{yy} = S_{R} + S_{e} \end{equation}$$
   であるので，
   $$\begin{equation} \frac{S_{yy}}{S_{yy}} = \frac{S_{R}}{S_{yy}} + \frac{S_{e}}{S_{yy}} \end{equation}$$
   $$\begin{equation} 1 = R^2 + \frac{S_{e}}{S_{yy}} \end{equation}$$
   $$\begin{equation} \frac{S_{e}}{S_{yy}} = 1 - R^2 \end{equation}$$
   これを用いれば，
   $$\begin{align} \bar{R}^2 &= 1 - \frac{S_{e}/\phi_{e}}{S_{yy}/\phi_{yy}} \\ &= 1 - \frac{\phi_{yy}}{\phi_{e}}\frac{S_{e}}{S_{yy}} \\ &= 1 - \frac{\phi_{yy}}{\phi_{e}}(1 - R^2) \\ \end{align}$$
   ここで，
   $$\begin{equation} \phi_{e} = 21 - 2 = 19 \end{equation}$$
   $$\begin{equation} \phi_{yy} = 21 - 1 = 20 \end{equation}$$
   であるので，
   $$\begin{align} \bar{R}^2 &= 1 - \frac{\phi_{yy}}{\phi_{e}}(1 - R^2) \\ &= 1 - \frac{20}{19}(1 - 0.0372) \\ &= 1 - 1.0135 \\ &= - 0.0135 \end{align}$$

2. 答 : ⑤

   $DW$ が 2 より大きいことから，残差は負の自己相関があることがわかる．また，$0 \le DW \le 4$，$-1 \le \hat{\rho} \le 1$ であるので， $\hat{\rho} = -0.5$ ぐらいであることが推測できる．

   残差 $e_{t}$ と $e_{t+1}$ は次のような関係があると考えられる．

   $$\begin{equation} e_{t+1} =\alpha e_{t} + \epsilon \end{equation}$$
   負の相関があるので，$\alpha < 0$ である． 残差のグラフは正負の値が交互に出現するようなものになる．