統計検定 準1級 過去問 解答/解答例と解説
2016年06月19日 (日) 試験

問題の要約

• $S(t)$ : パラメータ $\lambda$ を持つ生存関数 ($t \ge 0$)

  $$\begin{equation} S(t) = P(T > t) = \exp[-\lambda t] \end{equation}$$

1. 確率密度関数 $f(t)$ を求めよ．

2. 平均と中央値を求めよ．

3. 5人の死亡までの時間

   標本平均 $\bar{T} = 2.0 (年)$

   $T$ の中央値の推定値を求めよ．

解答

1. 答 : ④

   $$\begin{align} F(t; \lambda) &= P(T \le t) \\ &= 1 - P(T > t) \\ &= 1 - S(t) \\ &= 1 - \exp[-\lambda t] \end{align}$$
   $$\begin{align} f(t) &= F'(t) \\ &= \lambda \exp[-\lambda t] \end{align}$$

2. 答 : ⑤

   $T \sim Exp(\lambda)$ なので，

   $$\begin{equation} E[T] = \frac{1}{\lambda} \end{equation}$$
   中央値 $m$ は，次を満たす．
   $$\begin{equation} F(m) = 1 - \exp[-\lambda m] = \frac{1}{2} \end{equation}$$
   $$\begin{equation} \exp[-\lambda m] = \frac{1}{2} \end{equation}$$
   $$\begin{equation} -\lambda m = \log\frac{1}{2} \end{equation}$$
   $$\begin{equation} -\lambda m = \log 2^{-1} \end{equation}$$
   $$\begin{equation} -\lambda m = - \log 2 \end{equation}$$
   $$\begin{equation} m = \frac{1}{\lambda}\log 2 \end{equation}$$

3. 答 : ②

   $i-1$ 人目の死亡までの時間を $T_i$ とする．すると，

   $$\begin{equation} T_i - T_{i-1} \sim Exp(\lambda) \end{equation}$$
   $T_n = (T_1 - 0) + (T_2 - T_1) + \cdots + (T_n - T_{n-1})$ であるので，
   $$\begin{equation} T_n \sim Ga(n, \lambda) \end{equation}$$
   である．ガンマ分布(厳密には，$n$ は整数なのでアーラン分布)の期待値は，
   $$\begin{equation} E[T_n] = \frac{n}{\lambda} \end{equation}$$
   標本平均が 2.0年であったことから，
   $$\begin{equation} \frac{n}{\hat{\lambda}} = 2 \end{equation}$$
   $$\begin{equation} \hat{\lambda} = \frac{n}{2} \end{equation}$$
   よって，中央値の推定値 $\hat{m}$は，指数分布の中央値の $n$ 倍として推定できるので，
   $$\begin{align} \hat{m} &= n \times \frac{\log 2}{\hat{\lambda}} \\ &= n \times \log 2 \times \frac{2}{n} \\ &= 2 \times \log 2 \\ &\approx 1.4 \end{align}$$