第4講統計的検定

尤度比検定

一般的には一様最強力検定 (UMP) や一様最強力不偏検定 (UMPU) は存在しない．そこで，尤度比検定という考え方がある．

$X$ の確率密度関数を $f_X(x \mid \bm{\theta})$ としたとき， $\bm{x} = (x_1, \ldots, x_n)$ に対する尤度関数は，

L (θ ∣ x) = \prod_{i = 1}^{n} f (x_{i} ∣ θ)

$\begin{equation} L(\bm{\theta} \mid \bm{x}) = \prod_{i=1}^{n}f(x_i \mid \bm{\theta}) \end{equation}$

帰無仮説と対立仮説を次であるとする・

H_{0} : θ \in Θ_{0}

$\begin{equation} H_{0}~:~\bm{\theta} \in \Theta_{0} \end{equation}$

H_{1} : θ \in Θ_{1}

$\begin{equation} H_{1}~:~\bm{\theta} \in \Theta_{1} \end{equation}$

$ θ

$\bm{$\theta}$ は 1次元でも多次元でもよいとする．このとき，尤度比は，

Λ = \frac{sup_{θ \in Θ_{0}} L (θ ∣ x)}{sup_{θ \in Θ_{1}} L (θ ∣ x)}

$\begin{equation} \Lambda = \dfrac{\sup_{\bm{\theta} \in \Theta_{0}}L(\bm{\theta} \mid \bm{x})}{\sup_{\bm{\theta} \in \Theta_{1}}L(\bm{\theta} \mid \bm{x})} \end{equation}$

帰無仮説および対立仮説とも単純仮説の場合には，ネイマン・ピアソンの補題に現れた尤度比に一致する．

帰無仮説の下でのパラメータ数を $q = \dim\varTheta_0$ とし，対立仮説の下でのパラメータ数を $q + p = \dim\varTheta_1$ とする．このとき，帰無仮説の下で $n \to \infty$ とすると，

- 2 \log Λ \sim χ^{2} (p)

$\begin{equation} -2\log \Lambda \sim \chi^{2}(p) \end{equation}$

自由度

p

$p$ は，対立仮説の下で自由に動けるパラメタの数と帰無仮説の下で自由に動けるパラメタの数との差である．．

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