第4講統計的検定

ネイマン・ピアソンの補題

検定関数 $\delta(x)$: $\delta(x) = 1$ のとき棄却， $\delta(x) = 0$ のとき受容．

とする．ここで，帰無仮説，対立仮説とも単純仮説で，

H_{0} : θ = θ_{0}

$\begin{equation} H_{0}~:~\theta = \theta_{0} \end{equation}$

H_{1} : θ = θ_{1}

$\begin{equation} H_{1}~:~\theta = \theta_{1} \end{equation}$

の場合，次の形で与えられる検定の第一種の過誤の確率が

α

$\alpha$ であれば，この検定は有意水準

α

$\alpha$ の中で一様最強力検定である．

δ (x) = {\begin{cases} 1 & i f \frac{f (x ∣ θ_{1})}{f (x ∣ θ_{0})} \geq c \\ 0 & i f \frac{f (x ∣ θ_{1})}{f (x ∣ θ_{0})} < c \end{cases}

$\begin{equation} \delta(x) = \begin{cases} 1 & \mathrm{if}~~\ds\frac{f(x \mid \theta_{1})}{f(x \mid \theta_{0})} \ge c \\[0.5em] 0 & \mathrm{if}~~\ds\frac{f(x \mid \theta_{1})}{f(x \mid \theta_{0})} < c \end{cases} \end{equation}$

ただし，

c \geq 0

$\begin{equation} c \ge 0 \end{equation}$

とし，

c

$c$ は

\int δ (x) f (x ∣ θ_{0}) d x = α

$\begin{equation} \int \delta(x)\,f(x \mid \theta_{0})\,dx = \alpha \end{equation}$

を満たすように定められる．

例

X \sim N (μ, 1^{2})

$\begin{equation} X \sim N(\mu, 1^2) \end{equation}$

H_{0} : μ = μ_{0} = 0

$\begin{equation} H_{0}~:~\mu = \mu_{0} = 0 \end{equation}$

H_{1} : μ = μ_{1} (> 0)

$\begin{equation} H_{1}~:~\mu = \mu_{1}~(> 0) \end{equation}$

のときを考える．それぞれの仮説の下での密度関数は，

f (x ∣ μ_{1}) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \exp [- \frac{(x - μ_{1})^{2}}{2}]

$\begin{equation} f(x \mid \mu_{1}) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp\left[-\dfrac{(x - \mu_1)^2}{2}\right] \end{equation}$

f (x ∣ μ_{0}) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \exp [- \frac{x^{2}}{2}]

$\begin{equation} f(x \mid \mu_{0}) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp\left[-\dfrac{x^2}{2}\right] \end{equation}$

密度関数の比が

c

$c$ 以上の領域は，

\frac{f (x ∣ μ_{1})}{f (x ∣ μ_{0})} = \exp [x μ_{1} - \frac{{μ_{1}}^{2}}{2}] \geq c

$\begin{equation} \dfrac{f(x \mid \mu_{1})}{f(x \mid \mu_{0})} = \exp\left[x \mu_1 - \frac{{\mu_1}^2}{2}\right] \ge c \end{equation}$

よって，

μ_{1} > 0

$\mu_1 > 0$ であることと，指数関数が単調増加であることから，棄却域は，

x \geq c^{'}

$\begin{equation} x \ge c' \end{equation}$

となる．ここで，

μ_{1}

$\mu_1$ に依存していないことがわかる．

c^{'}

$c'$ の値は次の式を満たすように定められる．

\int_{c^{'}}^{\infty} f (x ∣ θ_{0}) d x = α

$\begin{equation} \int_{c'}^{\infty} f(x \mid \theta_{0})\,dx = \alpha \end{equation}$

f (x ∣ θ_{0})

$f(x \mid \theta_{0})$ は標準正規分布であり，

α = 0.05

$\alpha = 0.05$ とすると

c^{'} = 1.645

$c' = 1.645$ であるので，棄却域は，

x \geq 1.645

$\begin{equation} x \ge 1.645 \end{equation}$

この例のように，最良な棄却域は単純対立仮説で設定した値 (この例の場合は

μ_{1}

$\mu_1$ ) に依存しないこともある．このことは，

H_{0} : μ = μ_{0} = 0

$\begin{equation} H_{0}~:~\mu = \mu_{0} = 0 \end{equation}$

H_{1} : μ > 0

$\begin{equation} H_{1}~:~\mu > 0 \end{equation}$

というように対立仮説を複合仮説にしたときにも，

x \geq c^{'}

$x \ge c'$ という棄却域が，任意の

μ_{1} > 0

$\mu_1 > 0$ に対しても最良な棄却域となっていることを意味している．

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